จำนวนเต็มบวก $m,n\in\{100,101,102,\cdots,200\}$

มี ห.ร.ม. และ ค.ร.น ของ $m$ กับ $n$ คือ $35$ และ $525$ ตามลำดับ

แล้วค่าของ $m+n$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาสมบัติของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น.[/STEP]

จากสมบัติของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น.

\begin{eqnarray*}
mn &=& (m,n)[m,n]\\
&=& (35)(525)
\end{eqnarray*}

[STEP]จัดรูปเพื่อให้อยู่ในเงื่อนไขของโจทย์[/STEP]

สังเกต $525$ มีตัวประกอบเฉพาะคือ $3, 5, 7$ สามารถแยกได้เป็น

$3 \times 175$ หรือ $5 \times 105$ ก็ได้ แต่ไม่สามารถแยกเป็น $7 \times 75$ ได้ เนื่องจาก $75 \notin\{100,101,102,\cdots,200\}$

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
mn &=& (35)(5)(105)\\
&=& (175)(105)
\end{eqnarray*}

จะได้ว่า $m=175$ และ $n=105$ โดยที่ $m,n\in\{100,101,102,\cdots,200\}$ จริง

ดังนั้น $m+n = 280$

 

[ANS] $280$ [/ANS]

การจัดรูปเพื่อหา $m$ และ $n$ นั้น เราไม่จำเป็นต้องแยกตัวประกอบ $35$ เนื่องจาก $35 \notin\{100,101,102,\cdots,200\}$ อยู่แล้ว

ดังนั้น เราจึงต้องแยกตัวประกอบ $525$ ออกเป็น $2$ พจน์ โดยให้พจน์หนึ่งอยู่ในเงื่อนไขที่ต้องการ

และนำอีกพจน์มาคูณกับ $35$ เพื่อให้มีค่าอยู่ในเงื่อนไขที่ต้องการเช่นกัน