กำหนดให้ $A,B,C$ และ $I$ เป็นเมทริกซ์จัตุรัสที่มีขนาดเท่ากัน และ $I$ เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์

พิจารณาข้อความต่อไปนี้

ก) ถ้า $AB=AC$ แล้ว $B=C$

ข) ถ้า $A^2=I$ และ $AB=I$ แล้ว $A=B$

ค) ถ้า $AB=I$ และ $AC=I$ แล้ว $B=C$

ง) ถ้า $AB=I$ แล้ว $\operatorname{adj}\left(B\right)=\left(\det\left(A\right)\right)A$

จำนวนข้อความที่กล่าวถูกต้องเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาข้อ ก)[/STEP]

สมมุติให้ $A$ เป็นเมทริกซ์ศูนย์ ซึ่งคูณกับเมทริกซ์ใดๆ จะได้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์ศูนย์เช่นกัน

ถ้า $B \neq C$ แล้ว จะได้ว่า $AB = \underline{0} = AC$

ดังนั้น ก) ไม่จริง

[STEP]พิจารณาข้อ ข)[/STEP]

จาก $A^2 = I$ จะได้

\begin{eqnarray*}
A^2 &=& I\\
A^{-1} A^2 &=& A^{-1} I\\
A &=& A^{-1}
\end{eqnarray*}

จาก $AB = I$ จะได้

\begin{eqnarray*}
AB &=& I\\
A^{-1} AB &=& A^{-1} I\\
B &=& A^{-1}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $A = A^{-1} = B$

ข้อ ข) ถูกต้อง

[STEP]พิจารณาข้อ ค)[/STEP]

จาก $AB = I$ จะได้

\begin{eqnarray*}
AB &=& I\\
A^{-1} AB &=& A^{-1} I\\
B &=& A^{-1}
\end{eqnarray*}

จาก $AC = I$ จะได้

\begin{eqnarray*}
AC &=& I\\
A^{-1} AC &=& A^{-1} I\\
C &=& A^{-1}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $B = A^{-1} = C$

ข้อ ค) ถูกต้อง

[STEP]พิจารณาข้อ ง)[/STEP]

จาก $AB = I$ จะได้ $B = A^{-1}$ (จากข้อ ค)

เนื่องจาก $\displaystyle A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \operatorname{adj}(A)$

จะได้

\begin{eqnarray*}
(A^{-1})^{-1} &=& \frac{1}{\det(A^{-1})} \operatorname{adj}(A^{-1})\\
A &=& \det(A) \operatorname{adj}(A^{-1})\\
\frac{1}{\det(A)} A &=& \operatorname{adj}(A^{-1})
\end{eqnarray*}

เนื่องจาก $B = A^{-1}$ จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
\operatorname{adj}(B) &=& \operatorname{adj}(A^{-1})\\
&=& \frac{1}{\det(A)} A
\end{eqnarray*}

ดังนั้น ง) ไม่จริง

[ANS] กล่าวถูก $2$ ข้อ [/ANS]