ระบบสมการเชิงเส้น $3$ สมการ $3$ ตัวแปร คือ $x,y,z$

ถ้าหา $z$ ได้เท่ากับ ${\displaystyle\dfrac{\left|
\begin{array}{ccc}
1&2&4\\
2&-3&-1\\
1&0&1
\end{array}
\right|}
{\left|
\begin{array}{ccc}
1&2&1\\
2&-3&4\\
1&0&2
\end{array}
\right|}}$ จากการใช้กฎของคราเมอร์

แล้วค่าของ $x+y$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]หา $z$[/STEP]

จาก $z = {\displaystyle\dfrac{\left|
\begin{array}{ccc}
1&2&4\\
2&-3&-1\\
1&0&1
\end{array}
\right|}
{\left|
\begin{array}{ccc}
1&2&1\\
2&-3&4\\
1&0&2
\end{array}
\right|}} = \frac{(-3-2+0)-(-12+4+0)}{(-6+8+0)-(-3+8+0)} = \frac{3}{-3} = -1$

[STEP]พิจารณากฎของคราเมอร์[/STEP]

ระบบสมการเชิงเส้น $3$ ตัวแปร เขียนในรูปเมทริกซ์ได้เป็น

$$AX = B$$

เมื่อ $\displaystyle X = \left[
\begin{array}{c}
x\\
y\\
z
\end{array}
\right]$

โดยกฎของคราเมอร์ จะได้ว่า $\displaystyle z = \frac{\left| A_3 \right|}{\left| A \right|}$

เมื่อ $A_3$ คือเมทริกซ์ที่เกิดจากการนำสมาชิกในเมทริกซ์ $B$ ไปแทนในหลักที่ $3$ ของเมทริกซ์ $A$

ดังนั้น จากโจทย์ ${\displaystyle z = \dfrac{\left|
\begin{array}{ccc}
1&2&4\\
2&-3&-1\\
1&0&1
\end{array}
\right|}
{\left|
\begin{array}{ccc}
1&2&1\\
2&-3&4\\
1&0&2
\end{array}
\right|}}$

หมายความว่า $\displaystyle A_3 = \left[
\begin{array}{ccc}
1&2&4\\
2&-3&-1\\
1&0&1
\end{array}
\right]$ และ $\displaystyle A = \left[
\begin{array}{ccc}
1&2&1\\
2&-3&4\\
1&0&2
\end{array}
\right]$

นั่นคือ  $\displaystyle B = \left[
\begin{array}{c}
4\\
-1\\
1
\end{array}
\right]$

[STEP]พิจารณาระบบสมการเชิงเส้น $3$ ตัวแปร[/STEP]

ระบบสมการเชิงเส้นในรูปเมทริกซ์ คือ

${\displaystyle{\left[
\begin{array}{ccc}
1&2&1\\
2&-3&4\\
1&0&2
\end{array}
\right]} {\left[
\begin{array}{c}
x\\
y\\
z
\end{array}
\right]} = {\left[
\begin{array}{c}
4\\
-1\\
1
\end{array}
\right]}}$

พิจารณาสมการที่ $3$ นั่นคือ $x+2z=1$

แทนค่า $z=-1$ จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
x + 2(-1) &=& 1\\
x &=& 1+2\\
x &=& 3
\end{eqnarray*}

พิจารณาสมการที่ $1$ นั่นคือ $x+2y+z=4$

แทนค่า $x=3$ และ $z=-1$ จะได้

\begin{eqnarray*}
3 + 2y + (-1) &=& 4\\
2 + 2y &=& 4\\
2y &=& 2\\
y &=& 1
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $x + y = 3 + 1 = 4$

 

[ANS] $4$ [/ANS]