ผลบวกของคำตอบทั้งหมดของสมการ

$$x^{\left(\log_2x+1\right)}=64$$

เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]เทคลอกฐาน $2$ ทั้งสองข้าง[/STEP]

จากโจทย์

\begin{eqnarray*}
x^{\left(\log_2x+1\right)} &=& 64\\
\log_2{x^{\left(\log_2x+1\right)}} &=& \log_2{64}\\
(\log_2x + 1)(\log_2x) &=& \log_2{2^6}\\
(\log_2x + 1)(\log_2x) &=& 6
\end{eqnarray*}

[STEP]แก้สมการ[/STEP]

ให้ $\displaystyle A = \log_2x$ จะได้

\begin{eqnarray*}
(A + 1)A &=& 6\\
A^2 + A - 6 &=& 0\\
(A + 3)(A - 2) &=& 0\\
A = -3 &\text{หรือ}& A = 2
\end{eqnarray*}

[STEP]หาคำตอบ[/STEP]

จาก $A = -3$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\log_2x &=& -3\\
x &=& 2^{-3}\\
&=& \frac{1}{8}
\end{eqnarray*}

จาก $A = 2$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\log_2x &=& 2\\
x &=& 2^2\\
&=& 4
\end{eqnarray*}

ดังนั้น ผลบวกของคำตอบเท่ากับ $\displaystyle \frac{1}{8} + 4 = \frac{33}{8}$

 

[ANS]$\displaystyle\frac{33}{8}$[/ANS]