กำหนดให้ $ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน $AB$ และ $AC$ ยาว $3$ หน่วย และ $5$ หน่วยตามลำดับ

ถ้า ${\displaystyle\operatorname{arccos}{\left(-\frac{1}{15}\right)}=B+C}$ แล้วด้าน $BC$ ยาวเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณามุม $B+C$[/STEP]

จาก

\begin{eqnarray*}
\arccos \left( -\frac{1}{15} \right) &=& B+C\\
\cos \left[ \arccos \left( -\frac{1}{15} \right) \right] &=& \cos(B+C)\\
-\frac{1}{15} &=& \cos(B+C)
\end{eqnarray*}

[STEP]ใช้กฎ cosine[/STEP]

จากรูป ใช้กฎ cosine จะได้

$$\displaystyle {BC}^2 = 3^2 + 5^2 - 2(3)(5) \cos A$$

เนื่องจาก $A + B + C = 180^o$ จะได้ว่า $A = 180^o - (B + C)$ ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
\cos A &=& \cos[180^o - (B+C)]\\
&=& -\cos (B+C)\\
&=& - \left( -\frac{1}{15} \right)\\
&=& \frac{1}{15}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
{BC}^2 &=& 9 + 25 - 2\cancel{(3)(5)} \left( \frac{1}{\cancel{15}} \right)\\
&=& 34 - 2\\
&=& 32\\
BC &=& 4 \sqrt{2}
\end{eqnarray*}

 

[ANS] $4\sqrt2$ [/ANS]