กำหนดให้ $H$ เป็นไฮเพอร์โบลา ${\displaystyle\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{2}}=1$ และ $P$ เป็นจุดบน $H$

พิจารณาข้อความต่อไปนี้

ก) ความชันของเส้นกำกับทั้งสอง คูณกันได้ $\displaystyle -\frac{1}{4}$

ข) $(PF_1-PF_2)^2=32$ เมื่อ  $F_1=(-\sqrt{1}0,0)$ และ $F_2=(\sqrt{10},0)$

ค) จุด $P$ ไม่เป็นสมาชิกของเซต $\displaystyle \left\{(x,y)\mid x>0 \text{ และ }y>\frac{x}{2}\right\}$

ง) ผลคูณของระยะจาก $P$ ไปยังเส้นกำกับทั้งสองของไฮเพอร์โบลาเป็นค่าคงตัว เท่ากับ $\displaystyle \frac{8}{5}$

จำนวนข้อความที่กล่าวถูกต้องเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณา ก)[/STEP]

จากสมการไฮเพอร์โบลา ${\displaystyle\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{2}}=1$

จะได้ว่า $a = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}, b = \sqrt{2}$

และ

\begin{eqnarray*}
c^2 &=& a^2 + b^2\\
&=& 8 + 2\\
&=& 10\\
c &=& \sqrt{10}
\end{eqnarray*}

จะได้สมการของเส้นกำกับ คือ

\begin{eqnarray*}
y &=& \pm \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2}} x\\
y &=& \pm \frac{1}{2}x
\end{eqnarray*}

ดังนั้น สมการเส้นกำกับคือ

  1. $\displaystyle y = \frac{1}{2}x$ มีความชันเท่ากับ $\displaystyle \frac{1}{2}$ และ
  2. $\displaystyle y = -\frac{1}{2}x$ มีความชันเท่ากับ $\displaystyle -\frac{1}{2}$

จะได้ผลคูณของความชัน เท่ากับ $\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right) \left( -\frac{1}{2} \right) = -\frac{1}{4}$

ข้อความ ก) กล่าวถูกต้อง

[STEP]พิจารณา ข)[/STEP]

จากสมการไฮเพอร์โบลา สามารถเขียนกราฟได้ดังนี้

โดยที่ $F_1$ และ $F_2$ เป็นโฟกัสของไฮเพอร์โบลา

เนื่องจากผลต่างของระยะ $P F_1$ และ $P F_2$ เรียกว่า ผลต่างคงที่ มีค่าเท่ากับ $2a$ จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
\left| P F_1 - P F_2 \right| &=& 2a\\
(P F_1 - P F_2)^2 &=& (2a)^2\\
&=& 4a^2\\
&=& (4 \sqrt{2})^2
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $(P F_1 - P F_2)^2 = 32$

ข้อความ ข) กล่าวถูกต้อง

[STEP]พิจารณา ค)[/STEP]

เนื่องจากโจทย์ต้องการ $x>0$ เราจึงพิจารณาเฉพาะด้านขวามือของแกน $X$

$\displaystyle y = \frac{x}{2}$ คือเส้นกำกับเส้นหนึ่งของไฮเพอร์โบลาดังรูป (เส้นสีฟ้า)

ดังนั้น $\displaystyle y > \frac{x}{2}$ จึงหมายถึงพื้นที่ที่อยู่เหนือเส้นสีฟ้า (พื้นที่แรเงาสีส้ม)

จะเห็นว่า ไฮเพอร์โบลาอยู่ใต้พื้นที่ดังกล่าวทั้งหมด จุด $P$ เป็นจุดบนไฮเพอร์โบลา จึงไม่อยู่ในพื้นที่สีส้ม

ส่งผลให้ $\displaystyle P \notin \left\{(x,y)\mid x>0 \text{ และ }y>\frac{x}{2}\right\}$

ข้อความ ค) กล่าวถูกต้อง

[STEP]พิจารณา ง)[/STEP]

จากสูตรการหาระยะระหว่างจุดกับเส้นตรง $\displaystyle d = \frac{\left| Ax_1 + By_1 + c \right|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

กำหนดให้ $P$ มีพิกัด $(x , y)$

จัดรูปสมการเส้นกำกับในรูปสมการทั่วไป

$\displaystyle L_1 : x - 2y = 0$ และ $\displaystyle L_2 : x + 2y = 0$

จะได้ระยะจากจุด $P$ ไปยัง $L_1$ เป็น

\begin{eqnarray*}
PL_1 &=& \frac{\left| x - 2y + 0 \right|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}}\\
&=& \frac{\left| x - 2y \right|}{\sqrt{5}}
\end{eqnarray*}

และระยะจากจุด $P$ ไปยัง $L_2$ เป็น

\begin{eqnarray*}
PL_2 &=& \frac{\left| x + 2y + 0 \right|}{\sqrt{1^2 + 2^2}}\\
&=& \frac{\left| x + 2y \right|}{\sqrt{5}}
\end{eqnarray*}

ผลคูณของระยะทั้งสองเท่ากับ

\begin{eqnarray*}
PL_1 \cdot PL_2 &=& \left ( \frac{\left| x - 2y \right|}{\sqrt{5}} \right) \left ( \frac{\left| x + 2y \right|}{\sqrt{5}} \right )\\
&=& \frac{\left| x - 2y \right| \left| x + 2y \right|}{5}\\
&=& \frac{\left| (x-2y)(x+2y) \right|}{5}\\
&=& \frac{\left| x^2 - 4y^2 \right|}{5}
\end{eqnarray*}

พิจารณาสมการไฮเพอร์โบลา

\begin{eqnarray*}
\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{2} &=& 1\\
8 \left( \frac{x^2}{8} \right) - 8 \left( \frac{y^2}{2} \right) &=& 8(1)\\
x^2 - 4y^2 &=& 8
\end{eqnarray*}

จะได้ว่า $x^2 - 4y^2 = 8$ เป็นค่าคงตัว

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
PL_1 \cdot PL_2 &=& \frac{\left| x^2 - 4y^2 \right|}{5}\\
&=& \frac{\left| 8 \right|}{5}\\
&=& \frac{8}{5}
\end{eqnarray*}

ข้อความ ง) กล่าวถูกต้อง

[ANS] กล่าวถูกทั้งหมด $4$ ข้อ [/ANS]

สมการเส้นกำกับของไฮเพอร์โบลา จำง่ายๆ ว่า $\displaystyle y = \pm \frac{\text{ใต้ $y$}}{\text{ใต้ $x$}} x$

เช่นในข้อนี้ ใต้ $y$ คือ $b = \sqrt{2}$ และใต้ $x$ คือ $a = 2 \sqrt{2}$