ถ้า $A$ และ $B$ เป็นเซตของจำนวนเชิงซ้อน โดยที่

\begin{array}{clc}
A&=\left\{z\,\mid z^{12}=1\right\}&\text{ และ}\\
B&=\left\{z\,\mid z^{18}-z^{9}-2=0\right\}&\\
\end{array}

แล้วจำนวนสมาชิกของ $A\cap B$ เท่ากับเท่าใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]หา $A$[/STEP]

จาก $z^{12} = 1$ เขียนในรูปเชิงขั้วจะได้ $z^{12} = \cos 0 + i \sin 0$

จะได้ $\displaystyle z = \sqrt[12]{z^{12}} = \cos \left ( \frac{0 + 2k \pi}{12} \right ) + i \sin \left ( \frac{0 + 2k \pi}{12} \right )$ 

หรือ $\displaystyle z = \cos \left ( \frac{k \pi}{6} \right ) + i \sin \left ( \frac{k \pi}{6} \right )$ เมื่อ $k = 0, 1, 2, ..., 11$

[STEP]หา $B$[/STEP]

ให้ $x = z^9$ จะได้

\begin{eqnarray*}
z^{18} - z^9 - 2 &=& 0\\
x^2 - x - 2 &=& 0\\
(x -2)(x + 1) &=& 0\\
x &=& 2, -1
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $z^9 = 2$ หรือ $z^9 = -1$

  • จาก $z^9 = 2$ เขียนในรูปเชิงขั้วได้เป็น $z^9 = 2(\cos 0 + i \sin 0)$

จะได้ว่า $\displaystyle z = \sqrt[9]{z^9} = \sqrt[9]{2} \left[ \cos \left ( \frac{0 + 2k \pi}{9} \right ) + i \sin \left ( \frac{0 + 2k \pi}{9} \right ) \right]$ เมื่อ $k = 0, 1, 2, ..., 8$

  • จาก $z^9 = -1$ เขียนในรูปเชิงขั้วได้เป็น $z^9 =  \cos \pi + i \sin \pi$

จะได้ว่า $\displaystyle z = \sqrt[9]{z^9} =  \cos \left ( \frac{\pi + 2k \pi}{9} \right ) + i \sin \left ( \frac{\pi + 2k \pi}{9} \right )$ เมื่อ $k = 0, 1, 2, ..., 8$

[STEP]หา $A \cap B$[/STEP]

โจทย์ต้องการจำนวนสมาชิกของ $A \cap B$ นั่นคือจำนวนคำตอบของ $A$ และ $B$ ที่ซ้ำกัน

พิจารณาคำตอบของเซต $B$ ที่ $\displaystyle z = \sqrt[9]{2} \left[ \cos \left ( \frac{2k \pi}{9} \right ) + i \sin \left ( \frac{2k \pi}{9} \right ) \right]$ เมื่อ $k = 0, 1, 2, ..., 8$

จะเห็นว่าคำตอบนี้มีโมดูลัสเป็น $\displaystyle \sqrt[9]{2}$ จึงไม่มีทางซ้ำกับคำตอบของเซต $A$ ได้ เราจึงตัดทิ้ง

  • พิจารณาอาร์กิวเมนท์ของคำตอบของ $A$

$\displaystyle \frac{k \pi}{6}$ เมื่อ $k = 0, 1, 2, ..., 11$

จะได้ $\displaystyle 0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \frac{2 \pi}{3}, \frac{5 \pi}{6}, \pi, \frac{7 \pi}{6}, \frac{4 \pi}{3}, \frac{3 \pi}{2}, \frac{5 \pi}{3}, \frac{11 \pi}{6}$

  • พิจารณาอาร์กิวเมนท์ของคำตอบของ $B$

$\displaystyle \frac{\pi + 2k \pi}{9}$ เมื่อ $k = 0, 1, 2, ..., 8$

จะได้ $\displaystyle \frac{\pi}{9}, \frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{9}, \frac{7 \pi}{9}, \pi, \frac{11 \pi}{9}, \frac{13 \pi}{9}, \frac{5 \pi}{3}, \frac{17 \pi}{9}$

ซึ่งอาร์กิวเมนท์ที่ซ้ำกัน คือ $\displaystyle \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{5 \pi}{3}$

จึงมีคำตอบซ้ำกัน $3$ คำตอบ ดังนั้น $n(A \cap B) = 3$

[ANS] $3$ [/ANS]