จำนวนเต็ม $x$ ที่สอดคล้องกับอสมการ

$$\left|\left|100+x\right|-\left|100-x\right|\right|<100$$

มีจำนวนทั้งหมดเท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาอสมการ[/STEP]

จาก

$$\left|\left|100+x\right|-\left|100-x\right|\right|<100$$

จะได้

$$-100<\left|100+x\right|-\left|100-x\right|<100$$

[STEP]พิจารณาพจน์ในค่าสัมบูรณ์[/STEP]

พิจารณาพจน์ที่หนึ่ง

\begin{eqnarray*}
100+x &\geq& 0\\
x &\geq& -100
\end{eqnarray*}

นั่นคือ ถ้า $x \geq -100$ แล้ว $100+x$ จะมากกว่าหรือเท่ากับ $0$ สามารถถอดค่าสัมบูรณ์ได้เลย

แต่ถ้า $x < -100$ แล้ว $100+x$ จะมีค่าติดลบ เมื่อถอดค่าสัมบูรณ์จะต้องใส่เครื่องหมายติดลบ

 

พิจารณาพจน์ที่สอง

\begin{eqnarray*}
100-x &\geq& 0\\
100 &\geq& x
\end{eqnarray*}

นั่นคือ ถ้า $x \leq 100$ แล้ว $100-x$ จะมากกว่าหรือเท่ากับ $0$ สามารถถอดค่าสัมบูรณ์ได้เลย

แต่ถ้า $x > 100$ แล้ว $100-x$ จะมีค่าติดลบ เมื่อถอดค่าสัมบูรณ์จะต้องใส่เครื่องหมายติดลบ

 

ดังนั้น เราจึงแบ่งการแก้อสมการออกเป็น 3 ช่วง คือ

  1. เมื่อ $x > 100$
  2. เมื่อ $-100 \leq x \leq 100$
  3. เมื่อ $x < -100$

[STEP]เมื่อ $x > 100$[/STEP]

เมื่อ $x > 100$ จะได้ว่า $100+x > 0$ และ $100-x < 0$

\begin{gather*}
-100 &<& \left|\left|100+x\right|-\left|100-x\right|\right| &<& 100\\
-100 &<& (100+x) - [-(100-x)] &<& 100\\
-100 &<& 100+\cancel{x}+100-\cancel{x} &<& 100\\
-100 &<& 200 &<& 100
\end{gather*}

ซึ่งไม่เป็นความจริง ดังนั้น $x \in \emptyset$

[STEP]เมื่อ $-100 \leq x \leq 100$[/STEP]

เมื่อ $-100 \leq x \leq 100$ จะได้ว่า $100+x \geq 0$ และ $100-x \geq 0$

\begin{gather*}
-100 &<& \left|\left|100+x\right|-\left|100-x\right|\right| &<& 100\\
-100 &<& (100+x) - (100-x) &<& 100\\
-100 &<& \cancel{100}+x-\cancel{100}+x &<& 100\\
-100 &<& 2x &<& 100\\
\end{gather*}

ดังนั้น คำตอบคือ $-50 < x < 50$

[STEP]เมื่อ $x < -100$[/STEP]

เมื่อ $x < -100$ จะได้ว่า $100+x < 0$ และ $100-x > 0$

\begin{gather*}
-100 &<& \left|\left|100+x\right|-\left|100-x\right|\right| &<& 100\\
-100 &<& -(100+x) - (100-x) &<& 100\\
-100 &<& -100-\cancel{x}-100+\cancel{x} &<& 100\\
-100 &<& -200 &<& 100\\
\end{gather*}

ซึ่งไม่เป็นความจริง ดังนั้น $x \in \emptyset$

[STEP]หาคำตอบของอสมการ[/STEP]

จากการพิจารณาทั้ง 3 ขั้นตอน จะได้ว่าคำตอบของอสมการคือ $x \in (-50,50)$

คำตอบที่เป็นจำนวนเต็ม คือ $-49, -48, -47, ..., 49$

มีทั้งหมด $99$ จำนวน

 

[ANS] $99$ [/ANS]