$$\left(995\right)^{16}+\left(996\right)^8+\left(997\right)^4+\left(998\right)^2+999$$

หารด้วย $7$ 

จะเหลือเศษเท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณา $(995)^{16}$[/STEP]

เนื่องจาก $995 = 142(7)+1$

ให้ $a=142(7)$ ซึ่ง $7 \mid a$ ใช้ทฤษฎีบททวินาม จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
(995)^{16} &=& (a+1)^{16}\\
&=& \binom{16}{0}(a)^{16}+\binom{16}{1}(a)^{15}(1)+\binom{16}{2}(a)^{14}(1)^2+...+\binom{16}{15}(a)^{1}(1)^{15}+\binom{16}{16}(1)^{16}
\end{eqnarray*}

จากการกระจายทั้ง 17 พจน์ จะเห็นว่า พจน์ที่ 1 ถึงพจน์ที่ 16 สามารถหารด้วย $7$ ได้ลงตัว เนื่องจากมี $a$ เป็นตัวประกอบ

ดังนั้น เศษที่เหลือจากการหาร $(995)^{16}$ ด้วย $7$ เท่ากับเศษที่เหลือจากการหารพจน์ที่ 17 ด้วย $7$

ซึ่งพจน์ที่ 17 มีค่า $\displaystyle \binom{16}{16}(1)^{16} = 1$

เมื่อหารด้วย $7$ จะเหลือเศษ $1$

[STEP]พิจารณา $(996)^{8}$[/STEP]

เนื่องจาก $996 = 142(7)+2$

ให้ $a=142(7)$ ซึ่ง $7 \mid a$ ใช้ทฤษฎีบททวินาม จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
(996)^{8} &=& (a+2)^{8}\\
&=& \binom{8}{0}(a)^{8}+\binom{8}{1}(a)^{7}(2)+\binom{8}{2}(a)^{6}(2)^2+...+\binom{8}{7}(a)^{1}(2)^{7}+\binom{8}{8}(2)^{8}
\end{eqnarray*}

จากการกระจายทั้ง 9 พจน์ จะเห็นว่า พจน์ที่ 1 ถึงพจน์ที่ 8 สามารถหารด้วย $7$ ได้ลงตัว เนื่องจากมี $a$ เป็นตัวประกอบ

ดังนั้น เศษที่เหลือจากการหาร $(996)^{8}$ ด้วย $7$ เท่ากับเศษที่เหลือจากการหารพจน์ที่ 9 ด้วย $7$

ซึ่งพจน์ที่ 9 มีค่า $\displaystyle \binom{8}{8}(2)^{8} = 256$

เมื่อหารด้วย $7$ จะเหลือเศษ $4$

[STEP]พิจารณา $(997)^{4}$[/STEP]

เนื่องจาก $997 = 142(7)+3$

ให้ $a=142(7)$ ซึ่ง $7 \mid a$ ใช้ทฤษฎีบททวินามพิจารณาในทำนองเดียวกับ 2 ขั้นตอน ที่ผ่านมา จะได้ว่า

เศษที่เหลือจากการหาร $(997)^{4}$ ด้วย $7$

เท่ากับเศษที่เหลือจากการหาร $\displaystyle \binom{4}{4}(3)^{4} = 81$ ด้วย $7$ นั่นคือเศษเป็น $4$

[STEP]พิจารณา $(998)^{2}$[/STEP]

เนื่องจาก $998 = 142(7)+4$

พิจารณาในทำนองเดียวกัน จะได้ว่า เศษที่เหลือจากการหาร $(998)^{2}$ ด้วย $7$

เท่ากับเศษที่เหลือจากการหาร $\displaystyle \binom{2}{2}(4)^{2} = 16$ ด้วย $7$ นั่นคือเศษเป็น $2$

[STEP]พิจารณา $999$[/STEP]

เนื่องจาก $999 = 142(7)+5$

นั่นคือ เศษที่เหลือจากการหาร $999$ ด้วย $7$ เท่ากับ $5$

[STEP]หาคำตอบ[/STEP]

เศษที่เหลือจากการหาร $\left(995\right)^{16}+\left(996\right)^8+\left(997\right)^4+\left(998\right)^2+999$ ด้วย $7$

เท่ากับ $1+4+4+2+5=16$

ซึ่งสามารถหารด้วย $7$ ได้อีกครั้งหนึ่ง เหลือเศษสุดท้ายเป็น $2$

 

[ANS] $2$ [/ANS]