กำหนดให้ $a_n$ เป็นลำดับของจำนวนจริงบวก ซึ่ง ${\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}$ หาค่าได้ และ $$a_n=\sqrt{\frac{1+2n}{n}+a_n}$$

แล้ว ${\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]ใช้สมบัติของลิมิต[/STEP]

ดึงสแควรูทออกนอกลิมิต จากนั้นกระจายลิมิตไปยังทั้งสองพจน์

\begin{eqnarray*}
\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{1+2n}{n} + a_n} &=& \sqrt{\lim_{n \rightarrow \infty} \left({\frac{1+2n}{n} + a_n}\right)}\\
&=& \sqrt{\lim_{n \rightarrow \infty} \left( \frac{1+2n}{n} \right) + \lim_{n \rightarrow \infty} a_n }\\
&=& \sqrt{\lim_{n \rightarrow \infty} \left( \frac{1}{n} + \frac{2\cancel{n}}{\cancel{n}} \right) + \lim_{n \rightarrow \infty} a_n }\\
&=& \sqrt{\lim_{n \rightarrow \infty} \left( \frac{1}{n} \right) + \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 2 \right) + \lim_{n \rightarrow \infty} a_n}
\end{eqnarray*}

เนื่องจาก $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \frac{1}{n} \right) = 0$ จะได้

\begin{eqnarray*}
&=& \sqrt{2 + \lim_{n \rightarrow \infty} a_n}
\end{eqnarray*}

[STEP]หา $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_n$[/STEP]

ให้ $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = x$ จะได้

\begin{eqnarray*}
x &=& \sqrt{2 + x}
\end{eqnarray*}

ยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ จะได้

\begin{eqnarray*}
x^2 &=& (\sqrt{2 + x})^2\\
x^2 &=& 2 + x\\
x^2 - x - 2 &=& 0\\
(x - 2)(x + 1) &=& 0
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $x=2$ หรือ $x=-1$

เนื่องจาก $a_n$ เป็นลำดับของจำนวนจริงบวก จึงได้ว่า $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 2$

[ANS] $2$ [/ANS]