ค่าของ

$$\displaystyle\sum_{r=0}^6(-1)^r\binom{6}{r} 7^{6-r} 5^r$$

เท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]เทียบซัมเมชั่นกับทฤษฎีบททวินาม[/STEP]

จากทฤษฎีบททวินาม

$$\left(a+b\right)^n = \sum_{r=0}^n \binom{n}{r}\times a^{n-r}\times b^r$$

จะเห็นว่าถ้า $n=6$, $a=7$ และ $b=-5$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\left(7+(-5)\right)^6 &=& \sum_{r=0}^6 \binom{6}{r}\times 7^{6-r}\times (-5)^r\\
&=& \sum_{r=0}^6 \binom{6}{r}\times 7^{6-r}\times (-1)^r(5)^r\\
&=& \sum_{r=0}^6 (-1)^r \binom{6}{r} 7^{6-r}5^r
\end{eqnarray*}

ดังนั้น ค่าที่โจทย์ถาม คือ 

\begin{eqnarray*}
\sum_{r=0}^6 (-1)^r \binom{6}{r} 7^{6-r}5^r &=&\left(7+(-5)\right)^6 \\
 &=& \left(7-5\right)^6\\
&=& 2^6\\
&=& 64
\end{eqnarray*}

[ANS]$64$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ทฤษฎีบททวินาม การแยกตัวประกอบพหุนาม