กำหนดให้ $m$ เป็นจำนวนจริงบวกที่ทำให้เวกเตอร์ $m\vec{a} + \vec{b}$ ตั้งฉากกับเวกเตอร์ $m\vec{a} - \vec{b}$ โดยที่ $\left| \vec{a} \right| = 2 $  และ  $\left| \vec{b} \right| = 5 $  แล้ว $m$ มีค่าเท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]หาค่า $m$[/STEP]

โจทย์กำหนดให้ว่า  $m\vec{a} + \vec{b}$ ตั้งฉากกับ $m\vec{a} - \vec{b}$  ซึ่งถ้าเวกเตอร์สองตัวตั้งฉากกันจะได้ว่าดอทกันเป็นศูนย์ ดังนั้น

$$\left(m\vec{a} + \vec{b}\right)\cdot\left(m\vec{a} - \vec{b}\right)=0$$

และการดอทสามารถกระจายได้ จะได้

\begin{eqnarray*}
\left(m\vec{a} + \vec{b}\right)\cdot\left(m\vec{a} - \vec{b}\right)&=&0\\
\left(m\vec{a}\right)\cdot\left(m\vec{a}\right)-m\vec{a}\cdot\vec{b}+m\vec{a}\cdot\vec{b}-\vec{b}\cdot\vec{b}&=&0\\
\left(m\vec{a}\right)\cdot\left(m\vec{a}\right)-\vec{b}\cdot\vec{b}&=&0\\
m^2 \vec{a}\cdot\vec{a}-\vec{b}\cdot\vec{b}&=&0
\end{eqnarray*}

จาก $\vec{u}\cdot\vec{u}=\left|\vec{u}\right|^2$ จะได้

\begin{eqnarray*}
m^2 \vec{a}\cdot\vec{a}-\vec{b}\cdot\vec{b}&=&0\\
m^2\left|\vec{a}\right|^2-\left|\vec{b}\right|^2&=&0
\end{eqnarray*}

โจทย์กำหนดให้ $\left| \vec{a} \right| = 2 $  และ  $\left| \vec{b} \right| = 5 $ จะได้

\begin{eqnarray*}
m^2\left|\vec{a}\right|^2-\left|\vec{b}\right|^2&=&0\\
m^2\left(2^2\right)-\left(5^2\right)&=&0\\
4m^2-25&=&0\\
m^2&=&\frac{25}{4}\\
m&=&\pm\frac52
\end{eqnarray*}

แต่เนื่องจาก $m$ เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
m&=&\frac52\\
&=&2.5
\end{eqnarray*}

[ANS]$2.5$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : สูตรขนาดผลรวมเวกเตอร์