กำหนดให้ $m$ และ $M$ เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์และค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ $f\left(x\right)=\left|\begin{array}{ccc}
x & x & x\\
0 & x-3 & x\\
0 & 0 & x+3
\end{array}\right|$ ตามลำดับ

ถ้า $S=\left\{a \mid a \text{ เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ } m\leq{f\left(a\right)}\leq{M}\right\}$ แล้วจำนวนสมาชิกของเซต $S$ เท่ากับเท่าใด 

 

เฉลยละเอียด

[STEP]หา $f(x)$ [/STEP]

จาก $f\left(x\right)=\left|\begin{array}{ccc}
x & x & x\\
0 & x-3 & x\\
0 & 0 & x+3
\end{array}\right|$ 

จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
f\left(x\right)&=&\left|\begin{array}{ccc}
x & x & x\\
0 & x-3 & x\\
0 & 0 & x+3
\end{array}\right|\\
&=&x(x-3)(x+3)\\
&=&x\left(x^2-9\right)\\
&=&x^3-9x
\end{eqnarray*}

[STEP]หาจุดต่ำสุดสัมพัทธ์และจุดสูงสุดสัมพัทธ์[/STEP]

การหาจุดสูงสุดต่ำสุดเราจะเริ่มด้วยการหาจุดวิกฤต คือ จุดที่มีความชันเท่ากับ $0$

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
f'(x)&=&3x^2-9
\end{eqnarray*}

จับความชันเท่ากับศูนย์จะได้

\begin{eqnarray*}
f'(x)&=&0\\
3x^2-9&=&0\\
3(x^2-3)&=&0\\
(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)&=&0\\
x&=&\sqrt3,-\sqrt3
\end{eqnarray*}

ตรวจสอบว่าจุดไหนเป็นจุดต่ำสุดหรือสูงสุดโดยการดูอนุพันธ์อันดับสอง

\begin{eqnarray*}
f^{\prime\prime}(x)&=&6x
\end{eqnarray*}

ที่จุด $x=\sqrt3$ ได้

$$f^{\prime\prime}(\sqrt3)=6\sqrt3>0$$

ดังนั้นที่จุด $x=\sqrt3$ ให้ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ และได้ว่า ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์คือ $m=f(\sqrt3)$ ดังนั้น 

\begin{eqnarray*}
m&=&f(\sqrt3)\\
&=&\left(\sqrt3\right)^3-9(\sqrt3)\\
&=&3\sqrt3-9\sqrt3\\
&=&-6\sqrt3
\end{eqnarray*}

ที่จุด $x=-\sqrt3$

$$f^{\prime\prime}(-\sqrt3)=-6\sqrt3<0$$

ดังนั้นที่จุด $x=-\sqrt3$ ให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ และได้ว่า ค่าสูงสุดสัมพัทธ์คือ $M=f(-\sqrt3)$ ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
M&=&f(-\sqrt3)\\
&=&\left(-\sqrt3\right)^3-9(-\sqrt3)\\
&=&-3\sqrt3+9\sqrt3\\
&=&6\sqrt3
\end{eqnarray*}

[STEP] หาจำนวนสมาชิกในเซต $S$[/STEP]

จาก

$$S=\left\{a | a \text{ เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ } m\leq{f\left(a\right)}\leq{M}\right\}$$

จะได้

$$S=\left\{a | a \text{ เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ } -6\sqrt3\leq{a^3-9a}\leq{6\sqrt3}\right\}$$

แก้อสมการเพื่อหาช่วงคำตอบ

จากอสมการ $-6\sqrt3\leq{a^3-9a}\leq{6\sqrt3}$ จะได้ว่า

$$-6\sqrt3\leq a^3-9a\cdots(1)\quad และ\quad a^3-9a\leq 6\sqrt3\cdots(2)$$

ดั้งนั้นเราจะต้องหาคำตอบของอสมการทั้งสองแล้วเอามีอินเตอร์เซคกันจะได้คำตอบของอสการที่ต้องการ

จากอสมการที่ $(1)$

\begin{eqnarray*}
-6\sqrt3&\leq&a^3-9a\\
a^3-9a&+6\sqrt3\geq&0
\end{eqnarray*}

ทดลองแทนค่า $a=\sqrt{3}$ ในพหุนามทางซ้ายของอสมการจะได้

\begin{eqnarray*}
a^3 - 9a +6\sqrt{3} &=& \left(\sqrt3 \right)^3 -9 \left( \sqrt3 \right) +6\sqrt{3} \\
&=& 3\sqrt3 -9\sqrt3 +6\sqrt3 \\
&=& 0
\end{eqnarray*}

ดังนั้นแสดงว่า $a-\sqrt3$ เป็นตัวประกอบหนึ่งของพหุนามด้านซ้ายของอสมการดังกล่าว เราจึงใช้วิธีการหารสังเคราะห์

เมื่อทดลองหารสังเคราะห์ต่อด้วย $\sqrt3$ เหมือนเดิม ก็พบว่าหารลงตัวอีกครั้ง

ดังนั้นเราจึงสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามด้านซ้ายของอสมการได้ดังนี้

\begin{eqnarray*}
a^3-9a&+6\sqrt3\geq&0\\
(a-\sqrt3)^2(a+2\sqrt3)&\geq&0
\end{eqnarray*}

วาดรูปเส้นจำนวนและเอาคำตอบช่วงที่เป็นบวก จะได้

ดังนั้นคำตอบของอสมการที่ $(1)$ คือ

$$[-2\sqrt3,\infty)$$

จากนั้นหาช่วงคำตอบของอสมการที่ $(2)$

\begin{eqnarray*}
a^3-9a&\leq&6\sqrt3\\
a^3-9a-6\sqrt3&\leq&0
\end{eqnarray*}

แยกตัวประกอบโดยการหารสังเคราะห์ จะได้

 

\begin{eqnarray*}
a^3-9a-6\sqrt3&\leq&0\\
(x+\sqrt3)^2(x-2\sqrt3)&\leq&0
\end{eqnarray*}

วาดเส้นจำนวนและเอาคำตอบช่วงที่เป็นลบ จะได้

ดังนั้นคำตอบของอสมการที่ $(2)$ คือ

$$(-\infty,2\sqrt3]$$

จากนั้นนำทั้งสองช่วงมาอินเตอร์เซคกันจะได้

$$(-\infty,2\sqrt3]\cap[-2\sqrt3,\infty)=[-2\sqrt3,2\sqrt3]$$

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
S&=&\left\{a\,\mid\,a \text{ เป็นจำนวนเต็มและ } -2\sqrt3\leq a\leq2\sqrt3\right\}\\
&=&\left\{-3,-2,-1,0,1,2,3\right\}
\end{eqnarray*}

เราทราบว่าจำนวนที่สอดคล้องกับอสมการ $-2\sqrt3\leq a \leq2\sqrt3$ โดยการประมาณค่า $\sqrt3\approx 1.73$ ซึ่งจะได้ $2\sqrt3 \approx 3.46$ และเราก็พิจารณาจำนวนเต็ม $a$ ที่อยู่ระหว่าง $-3.46$ กับ $3.46$ ซึ่งก็ได้แก่ $-3,-2,-1,0,1,2,3$ นั่นเอง

จะได้ว่า

$$n(S)=7$$

[ANS] $7$ [/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ดีเทอร์มิแนนต์และสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ ค่าสูงสุดสัมพัทธ์และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์