กำหนดให้

$$A=\left\{-13,-11,-7,-5,-3,-2,2,3,5,7,11,13\right\}$$

และ

$$S=\left\{ a\left|b\right|+\left|a\right|b\,\Biggr|\,a,b\in A\right\} $$

แล้วจำนวนสมาชิกของเซต $S$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]นับ $a|b|+|a|b$ กรณีที่ $a=b$[/STEP]

กรณีที่ $a=b$ และเป็นบวกทั้งคู่ นั่นคือ $a,b$ เป็น $2,3,5,7,11,13$ จะได้

\begin{eqnarray*}
a\left|b\right|+\left|a\right|b & = & \left|ab\right|+\left|ab\right|\\
 & = & 2\left|ab\right|\\
&=& 2a^2
\end{eqnarray*}

จะได้ค่าต่างกัน $6$ แบบดังนี้

$a=b=2$ ได้ $a|b|+|a|b = 8 = 2\times2^2$
$a=b=3$ ได้ $a|b|+|a|b = 18 =2\times 3^2$
$a=b=5$ ได้ $a|b|+|a|b = 50 =2\times 5^2$
$a=b=7$ ได้ $a|b|+|a|b = 2\times 7^2$
$a=b=11$ ได้ $a|b|+|a|b = 2\times 11^2$
$a=b=13$ ได้ $a|b|+|a|b= 2\times 13^2$

กรณีที่ $a=b$ และเป็นลบทั้งคู่ นั่นคือ $a,b$ เป็น $-2,-3,-5,-7,-11,-13$ จะได้

\begin{eqnarray*}
a\left|b\right|+\left|a\right|b & = & -\left|ab\right|-\left|ab\right|\\
 & = & -2\left|ab\right|\\
 & = & -2a^{2}
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะมีค่าต่างกันอีก $6$ แบบดังนี้

 

$a=b=-2$ ได้ $a|b|+|a|b = -8 = -2\times2^2$
$a=b=-3$ ได้ $a|b|+|a|b = -18 =-2\times 3^2$
$a=b=-5$ ได้ $a|b|+|a|b = -50 =-2\times 5^2$
$a=b=-7$ ได้ $a|b|+|a|b = -2\times 7^2$
$a=b=-11$ ได้ $a|b|+|a|b = -2\times 11^2$
$a=b=-13$ ได้ $a|b|+|a|b= -2\times 13^2$

รวมทั้งสองกรณีมีค่าต่างกันทั้งหมด $6+6=12$ แบบ

[STEP]กรณี $a\neq{b}$ และมีเครื่องหมายเดียวกัน[/STEP]

กรณีที่ $a\neq{b}$ และ $a,b$ เป็นบวกทั้งคู่ คือเป็น $2,3,5,7,11,13$ จะได้

\begin{eqnarray*}
a\left|b\right|+\left|a\right|b & = & \left|ab\right|+\left|ab\right|\\
 & = & 2\left|ab\right|\\
 & = & 2ab
\end{eqnarray*}

ดังนั้นจำนวนวิธีจะเท่ากับจำนวนการเลือกตัวเลข $2$ ตัวแตกต่างกันจาก $2,3,5,7,11,13$ ซึ่งเท่ากับการเลือกของ $2$ ชิ้นจากของทั้งหมด $6$ ชิ้น

\begin{eqnarray*}
\binom{6}{2} &=& \frac{6!}{4!2!}\\
&=& \frac{6\times5}{2}\\
&=& 15
\end{eqnarray*}

กรณีที่ $a\neq{b}$ และ $a,b$ เป็นลบทั้งคู่ คือเป็น $-2,-3,-5,-7,-11,-13$ จะได้

\begin{eqnarray*}
a\left|b\right|+\left|a\right|b & = & -\left|ab\right|-\left|ab\right|\\
 & = & -2\left|ab\right|
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะมีจำนวนวิธีเท่ากับการเลือกตัวเลข $2$ ตัวแตกต่างกันจาก $-2,-3,-5,-7,-11,-13$ ซึ่งเท่ากับกรณีด้านบนและไม่ซ้ำกับกรณีด้านบนเพราะด้านบนมีค่าเป็นบวกแต่กรณีนี้ติดลบ นั่นคือ เท่ากับ $15$ แบบ

รวมสองกรณีมีตัวเลขแตกต่างกัน $15+15=30$ แบบ โดยทั้ง $30$ แบบนี้จะไม่ซ้ำกับขั้นตอนที่แล้วเพราะว่าเกิดจากตัวเลขแตกต่างกันคูณกัน (ในขั้นตอนที่แล้วเกิดจากตัวเลขตัวเดียวกันคูณกัน)

[STEP]กรณี $a\neq{b}$ และมีเครื่องหมายต่างกัน[/STEP]

ถ้า $a>0$ แต่ $b<0$ จะได้

\begin{eqnarray*}
a\left|b\right|+\left|a\right|b & = & \left|ab\right|+\left|a\right|\left(-\left|b\right|\right)\\
 & = & \left|ab\right|-\left|ab\right|\\
 & = & 0
\end{eqnarray*}

ในทางกลับกัน ถ้า $a<0$ แต่ $b>0$ จะได้

\begin{eqnarray*}
a\left|b\right|+\left|a\right|b & = & \left(-\left|a\right|\right)\left|b\right|+\left|ab\right|\\
 & = & -\left|ab\right|+\left|ab\right|\\
 & = & 0
\end{eqnarray*}

ซึ่งทั้งสองแบบต่างก็ทำให้ได้ค่า $a|b|+|a|b$ เป็นศูนย์ทั้งหมด ดังนั้นกรณีนี้จึงมีค่าของ $a|b|+|a|b$ เพียงค่าเดียว คือ $0$

[STEP]รวมจำนวนค่าของ $a\left|b\right|+\left|a\right|b$ จากทั้ง $3$ ขั้นตอน[/STEP]

เนื่องจากในขั้นตอนแรกค่าของ $a|b|+|a|b$ เกิดจาก $a=b$ จะได้ค่าที่เกิดจากตัวเลขตัวเดียวกันคูณกัน แต่ในขั้นตอนที่สองจะได้ค่าที่เกิดจากตัวเลขคนละตัวคูณกัน จึงไม่มีทางเท่ากัน  ส่วนในขั้นตอนที่สามได้ค่าเป็นศูนย์ซึ่งไม่มีทางเท่ากับสองขั้นตอนแรกที่ไม่มีทางเป็นศูนย์  ทั้งสามขั้นตอนจึงไม่มีทางมีค่าซ้ำกันเลย จึงสามารถนำจำนวนค่าของ $a|b|+|a|b$ จากทั้งสามขั้นตอนมาบวกกันได้เลย

\begin{eqnarray*}
\text{จำนวนค่าของ }a\left|b\right|+\left|a\right|b &=& 12 + 30 +1\\
&=& 43
\end{eqnarray*}

[ANS] $43$ [/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การนับแบบแยกกรณี