กำหนดให้ $S=\left\{1,2,3,\cdots,10\right\}$ และ $M=\left\{\begin{pmatrix}\begin{array}{cc}
x & y\\
z & x\\
\end{array}\end{pmatrix} \,\,\Biggr|\,\, x,y,z \in{S}\right\}$

ถ้าสุ่มหยิบสมาชิก $\begin{pmatrix}\begin{array}{cc}
x & y\\
z & x\\
\end{array}\end{pmatrix} $  จากเซต $M$ มา $1$ เมทริกซ์ ความน่าจะเป็นที่ $x<y$ และ $x<z$ มีค่าเท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาค่า $y,z$ ที่เป็นไปได้กรณี $x=1$[/STEP]

ถ้า $x=1$ จากสมการ $x<y$ และ $x<z$ เมื่อแทนค่า $x=1$ จะได้ว่า $1<y$ และ $1<z$ หรือ

$$y>1\quad\text{และ}\quad z>1$$

จะเห็นว่า $y\in S$ ที่ $y>1$ มีอยู่ $9$ ตัว คือ $y=2,3,4,5,6,7,8,9,10$
ทำนองเดียวกัน $z\in S$ ที่ $z>1$ มีอยู่ $9$ ตัว คือ $z=2,3,4,5,6,7,8,9,10$

เนื่องจากตำแหน่งของ $y$ และ $z$ ในเมทริกซ์ $\begin{pmatrix}\begin{array}{cc}
x & y\\
z & x\\
\end{array}\end{pmatrix}$ ส่งผลให้ตำแหน่งของ $y$ กับ $z$ มีความสำคัญ (สลับตำแหน่งกันแล้วจะได้เมทริกซ์ที่แตกต่างกัน) ดังนั้นเราสามารถนับจำนวนเมทริกซ์ที่มี $x=1$ โดยการเลือก $y$ ก่อนแล้วค่อยเลือก $z$ ทีหลังได้ ซึ่งมีจำนวนเมทริกซ์ที่สอดคล้องกับอสมการทั้งสองในกรณีนี้เท่ากับ

$$\left(\text{จำนวน }y\text{ ที่เป็นไปได้}\right)\times\left(\text{จำนวน }z\text{ ที่เป็นไปได้}\right) = 9\times 9 = 9^2\text{ เมทริกซ์}$$

[STEP]พิจารณาค่า $y,z$ ที่เป็นไปได้กรณี $x=2$[/STEP]

ในกรณีที่ $x=2$ แทนค่าลงในอสมการข้อจำกัดจะได้

$$y>2\quad\text{และ}\quad z>2$$

ซึ่งมี $y>2$ ที่อยู่ใน $S$ ทั้งหมด $8$ ตัว คือ $y=3,4,5,6,7,8,9,10$
และมี $z>2$ ที่อยู่ใน $S$ ทั้งหมด $8$ ตัวเช่นเดียวกันกับ $y$

และจำนวนเมทริกซ์ที่มี $x=2$ และสอดคล้องกับอสมการ $x<y$ และ $x<z$ ทั้งหมดเท่ากับ

$$\left(\text{จำนวน }y\text{ ที่เป็นไปได้}\right)\times\left(\text{จำนวน }z\text{ ที่เป็นไปได้}\right) = 8\times 8 = 8^2\text{ เมทริกซ์}$$

[STEP]พิจารณาค่า $y,z$ ที่เป็นไปได้กรณี $x$ ใดๆ และนับจำนวนเมทริกซ์ที่สอดคล้องกับ $x<y$ และ $x<z$ ทั้งหมด[/STEP]

จากสองขั้นตอนที่แล้ว เราพบว่า

ถ้า $x=1$ จะมี $y$ กับ $z$ เป็น $2,3,4,5,6,7,8,9,10$ และมีเมทริกซ์ ที่สอดคล้องกับอสมการ $x<y$ และ $x<z$ ทั้งหมด $9^2$ เมทริกซ์
ถ้า $x=2$ จะมี $y$ กับ $z$ เป็น $3,4,5,6,7,8,9,10$ และมีเมทริกซ์ ที่สอดคล้องกับอสมการดังกล่าว ทั้งหมด $8^2$ เมทริกซ์

เมื่อเราทดลองเพิ่ม $x$ เป็น

$x=3$ จะมี $y$ กับ $z$ เป็น $4,5,6,7,8,9,10$
           ซึ่งจะมีเมทริกซ์ ที่สอดคล้องกับอสมการดังกล่าว ทั้งหมด $7^2$ เมทริกซ์
$x=4$ จะมี $y$ กับ $z$ เป็น $5,6,7,8,9,10$
           ซึ่งมีเมทริกซ์ ที่สอดคล้องกับอสมการดังกล่าว ทั้งหมด $6^2$ เมทริกซ์
$x=5$ จะมี $y$ กับ $z$ เป็น $6,7,8,9,10$
           ซึ่งมีเมทริกซ์ ที่สอดคล้องกับอสมการดังกล่าว ทั้งหมด $5^2$ เมทริกซ์
$x=6$ จะมี $y$ กับ $z$ เป็น $7,8,9,10$
           ซึ่งมีเมทริกซ์ ที่สอดคล้องกับอสมการดังกล่าว ทั้งหมด $4^2$ เมทริกซ์
$x=7$ จะมี $y$ กับ $z$ เป็น $8,9,10$
           ซึ่งมีเมทริกซ์ ที่สอดคล้องกับอสมการดังกล่าว ทั้งหมด $3^2$ เมทริกซ์
$x=8$ จะมี $y$ กับ $z$ เป็น $9,10$
           ซึ่งมีเมทริกซ์ ที่สอดคล้องกับอสมการดังกล่าว ทั้งหมด $2^2$ เมทริกซ์
$x=9$ จะมี $y$ กับ $z$ เป็น $10$
           ซึ่งมีเมทริกซ์ ที่สอดคล้องกับอสมการดังกล่าว ทั้งหมด $1^2$ เมทริกซ์
$x=10$ จะไม่มี $y>10$ และไม่มี $z>10$ ใน $S$ อีกแล้ว

ดังนั้นจำนวนเมทริกซ์ที่มี $x,y,z$ สอดคล้องกับอสมการ $x<y$ และ $x<z$ ทั้งหมดเท่ากับ

\begin{eqnarray*}
n(E) &=& 9^2+8^2+7^2 +\cdots +3^2+ 2^2+1^2 \\
&=& 1^2 +2^2 +3^2 +\cdots +9^2\\
&=& \sum_{k=1}^9 k^2
\end{eqnarray*}

เมื่อใช้สูตรซัมเมชั่น

$$\displaystyle\sum_{k=1}^nk^2 = \frac{n}{6}(n+1)(2n+1)$$

จะได้

\begin{eqnarray*}
n(E) &=& \sum_{k=1}^9 k^2\\
&=& \frac{9}{6} (9+1)\left( 2(9)+1 \right)\\
&=& \frac{9}{6} (10)(19)\\
&=& 285
\end{eqnarray*}

ดังนั้นจำนวนเมทริกซ์ที่สอดคล้องกับอสมการทั้งสองเท่ากับ $n(E) = 285$

[STEP]นับจำนวนเมทริกซ์ทั้งหมดใน $M$[/STEP]

เมทริกซ์ใน $M$ สร้างจาก $x,y,z$ ซึ่งอยู่ในตำแหน่งที่แตกต่างกันในเมทริกซ์ $\begin{pmatrix}\begin{array}{cc}
x & y\\
z & x\\
\end{array}\end{pmatrix}$ ซึ่งตำแหน่งที่ต่างกันมีความสำคัญ ดังนั้นจำนวนเมทริกซ์ทั้งหมดย่อมเกิดจากผลคูณของจำนวนวิธีเลือกตัวเลขมาใช้เป็น $x,y$ และ $z$ ซึ่ง $x,y,z\in \left\{ 1,2,3,\cdots,10\right\}$ โดยแต่ละตัวมีให้เลือก $10$ ตัวเลข ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
n(S) &=& \left(\text{จำนวนวิธีการเลือก }x\right) \times\left(\text{จำนวนวิธีการเลือก }y\right) \times \left(\text{จำนวนวิธีการเลือก }z\right)\\
&=& (10)\times (10) \times (10)\\
&=& 1000
\end{eqnarray*} 

[STEP]คำนวณความน่าจะเป็นที่ $x<y$ และ $x<z$[/STEP]

จากขั้นตอนก่อนหน้าที่ได้ว่า $n(E) = 285$ และ $n(S) = 1000$ จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
P(E) &=& \frac{n(E)}{n(S)}\\
&=& \frac{285}{1000}\\
&=& 0.2850
\end{eqnarray*}

[ANS] $\frac{285}{1000}$ [/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การนับแบบแยกกรณี