เศษเหลือจากการหาร $4^{999} + 9^{555}$ ด้วย $5$ มีค่าเท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]หาค่า เศษเหลือ[/STEP]

การหาเศษเหลือจากการหารด้วย $5$ เราสามารถดูแค่เลขลงท้ายตัวเดียวได้

นั้นคือ ถ้าลงท้ายด้วย $3$ แสดงว่าเหลือกเศษ $3$ ถ้าลงท้ายด้วย $7$ แสดงว่าเหลือเศษ $2$ เป็นตั้น

ดังนั้นเราจะมาดูเลขลงท้ายของ $4^{999}+9^{555}$

หาเลขตัวสุดท้ายของ $4^{999}$ โดยการดูรูปแบบ

\begin{eqnarray*}
4^1&\,\text{ ลงท้ายด้วย }\,&4\\
4^2&\,\text{ ลงท้ายด้วย }\,&6\\
4^3&\,\text{ ลงท้ายด้วย }\,&4\\
4^4&\,\text{ ลงท้ายด้วย }\,&6\\
4^5&\,\text{ ลงท้ายด้วย }\,&4\\
4^6&\,\text{ ลงท้ายด้วย }\,&6\\
\end{eqnarray*}

จากด้านบนจะได้ว่า

\begin{eqnarray*}4^n &\text{ ลงท้ายด้วย }& \begin{cases}4&\,เมื่อ\, n \, เป็นเลขคี่\\6&\,เมื่อ\, n\, เป็นเลขคู่\end{cases}\end{eqnarray*}

ดังนั้น

$$4^{999} \,\text{ ลงท้ายด้วย }\,4$$

หาเลขตัวสุดท้ายของ $9^{555}$ โดยการดูรูปแบบ

\begin{eqnarray*}
9^1&\,\text{ ลงท้ายด้วย } \,&9\\
9^2&\,\text{ ลงท้ายด้วย }\,&1\\
9^3&\,\text{ ลงท้ายด้วย }\,&9\\
9^4&\,\text{ ลงท้ายด้วย }\,&1
\end{eqnarray*}

จากด้านบนจะได้ว่า

\begin{eqnarray*}9^n &\text{ ลงท้ายด้วย }& \begin{cases}9&\,เมื่อ\, n \, เป็นเลขคี่\\1&\,เมื่อ\, n\, เป็นเลขคู่\end{cases}\end{eqnarray*}

ดังนั้น

$$9^{555} \,\text{ ลงท้ายด้วย }\,9$$

ดังนั้นตัวสุดท้ายของ $4^{999}+9^{555}$ คือ $$4+9=13$$

แสดงว่าหลักสุดท้ายของ $4^{999}+9^{555}$ คือ $3$

ดังนั้น

$4^{999}+9^{555}$ หารด้วย $5$ เหลือเศษ $3$

[ANS] $3$ [/ANS]

 

ความรู้ที่ใช้ : การหารจำนวนเต็มและเศษเหลือ