กำหนดให้เส้นโค้ง $y=f(x)$ ผ่านจุด $(1,0)$ และมีความชันของเส้นโค้ง ณ จุด $(x,y)$ ใด ๆ  เป็น $4x+1$  ถ้า $F(x)$ เป็นปฏิยานุพันธ์หนึ่งของฟังก์ชัน $f(x)$  แล้วค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน $F$ จะอยู่ที่ $x$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]หาฟังก์ชัน $f(x)$[/STEP]

จากที่โจทย์กำหนดให้ว่า $f$ เป็นฟังก์ชันซึ่งมีความชัน ณ จุดใดๆ เป็น $4x+1$ จะได้ว่า

$$f'(x)=4x+1$$

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
f(x)&=&\int f'(x) dx\\
&=&\int 4x+1 dx\\
&=&2x^2+x+c
\end{eqnarray*}

หาค่า $c$ โดยใช้เงื่อนไขที่ $f$ ผ่านจุด $(1,0)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
f(x)&=&2x^2+x+c\\
f(1)&=&2(1^2)+1+c\\
0&=&2+1+c\\
0&=&3+c\\
c&=&-3
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

$$f(x)=2x^2+x-3$$

[STEP]จุดที่ให้ค่าสูงสุดของฟังก์ชัน $F$[/STEP]

การที่จะค่าสูงสุดสัมพัทธ์จะต้องหาค่าของ $x$ ที่ทำให้

$$F'(x)=0$$

และเนื่องจาก $F$ เป็นปฏิยานุพันธ์ของ $f$ จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
F'(x)&=&f(x)\\
0&=&2x^2+x-3\\
0&=&(2x+3)(x-1)\\
x&=&-\frac32,1
\end{eqnarray*}

หาค่าจุดไหนให้ค่าสูงสุดหรือต่ำสุดโดยดู $F^{\prime\prime}(x)$

\begin{eqnarray*}
F^{\prime\prime}(x)&=&f'(x)\\
&=&4x+1
\end{eqnarray*}

ที่จุด $x=-\frac32$ 

\begin{eqnarray*}
F^{\prime\prime}(-\frac32)&=&4\left(-\frac32\right)+1\\
&=&-6+1\\
&=&-5
\end{eqnarray*}

ดังนั้นที่จุด $x=-\frac32$ ให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์

[ANS] $x=-\frac32$ [/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ความชันของเส้นโค้ง ค่าสูงสุดสัมพัทธ์และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์