กำหนดให้ $f\left(x\right)=\begin{cases}
g(x) & \text{เมื่อ }x\leq1\\
x^{3}+2x & \text{เมื่อ }x>1\quad
\end{cases}$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ $x=1$

ถ้า $\left(f\circ{g}\right)'(1)=58$ แล้ว $g'(1)$ มีค่าเท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]หาค่า $g'(1)$[/STEP]

จากที่โจทย์กำหนดให้ว่า

$$\left(f\circ{g}\right)'(1)=58$$

เราจะเริ่มโดยการดูค่าของ $\left(f\circ{g}\right)'(x)$ จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
\left(f\circ{g}\right)'(x)&=&f'(g(x))\cdot g'(x)
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
\left(f\circ{g}\right)'(1)&=&f'(g(1))\cdot g'(1)\\
58&=&f'(g(1))\cdot g'(1)
\end{eqnarray*}

หาค่า $g(1)$ จากที่โจทย์กำหนดว่า $f$ ต่อเนื่องที่ $x=1$ จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
f(1)&=&\lim_{x\rightarrow1^+}f(x)\\
g(1)&=&\lim_{x\rightarrow1^+}x^3+2x\\
g(1)&=&1^3+2(1)\\
g(1)&=&3
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
58&=&f'(g(1))\cdot g'(1)\\
58&=&f'(3)\cdot g'(1)
\end{eqnarray*}

สิ่งที่เราจะต้องหาให้ได้ก่อนคือ $f'(3)$ ซึ่งจาก

$f\left(x\right)=\begin{cases}
g(x) & ;x\leq1\\
x^{3}+2x & ;x>1\quad
\end{cases}$ 

จะเห็นว่าที่ $x>1$ $f(x)$ เป็นฟังก์ชันพหุนามกำลังสามซึ่งต่อเนื่องทุกจุดดังนั้น

$f'(x)=3x^2+2$ เมื่อ $x>1$

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
f'(3)&=&3(3^2)+2\\
&=&27+2\\
&=&29
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
58&=&f'(3)\cdot g'(1)\\
58&=&29\cdot g'(1)\\
g'(1)&=&2
\end{eqnarray*}

[ANS] $2$ [/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : กฎลูกโซ่ ความต่อเนื่องที่จุด