,

เนื่องจากคะแนนสอบของนักเรียนเป็นการแจกแจกปกติ แสดงว่าเราจะใช้ค่ามาตรฐาน $(z)$ และเส้นโค้งปกติมาตรฐานเป็นหลัก

จาก นักเรียนได้คะแนนมากกว่า $80$ คะแนนเป็น $10\%$ ของนักเรียนทั้งหมด วาดเส้นโค้งปกติจะได้

จากนั้นดูค่า $z$ จะได้

แสดงว่าที่คะแนนเท่ากับ $80$ จะมีค่า $z$ เท่ากับ $1.28$ ดังนั้น

$$\begin{eqnarray*} z&=&\frac{x-\bar{x}}{s}\\ 1.28&=&\frac{80-\bar{x}}{s}\\ 1.28s&=&80-\bar{x}\\ 1.28s+\bar{x}&=&80\qquad\cdots(1) \end{eqnarray*}$$

จาก นักเรียนที่ได้คะแนนน้อยกว่า $40$ คะแนนเป็น $10\%$ ของนักเรียนทั้งหมด จะได้

จากนั้นดูค่า $z$ จะได้

แสดงว่าที่คะแนนเท่ากับ $40$ จะมีค่า $z$ เท่ากับ $-1.28$ ดังนั้น

$$\begin{eqnarray*} z&=&\frac{x-\bar{x}}{s}\\ -1.28&=&\frac{40-\bar{x}}{s}\\ -1.28s&=&40-\bar{x}\\ -1.28s+\bar{x}&=&40\qquad\cdots(2) \end{eqnarray*}$$

นำ $(1)-(2)$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} 1.28s-(-1.28s)&=&80-40\\ 2.56s&=&40\\ s&=&\frac{40}{2.56}\\ s&=&15.625 \end{eqnarray*}$$

นำ $s=15.625$ แทนค่าใน $(1)$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} 1.28s+\bar{x}&=&80\\ 1.28(15.625)+\bar{x}&=&80\\ 20+\bar{x}&=&80\\ \bar{x}&=&60 \end{eqnarray*}$$

,

ที่คะแนนเท่ากับ $65$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} z&=&\frac{x-\bar{x}}{s}\\ &=&\frac{65-60}{15.625}\\ &=&\frac{5}{15.625}\\ &=&0.32 \end{eqnarray*}$$

วาดเส้นโค้งปกติมาตรฐานจะได้

จำนวนนักเรียนที่ได้คะแนนมากกว่า $65$ คิดเป็น

$$0.5-0.1255=0.3745$$

ดังนั้นจำนวนนักเรียนที่ได้คะแนนมากกว่า $65$ คือ

$$37.45\%$$