คะแนนสอบของนักเรียนกลุ่มหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยที่มีนักเรียนได้คะแนนมากกว่า $80$ คะแนนเป็น $10\%$ ของนักเรียนทั้งหมด และนักเรียนที่ได้คะแนนน้อยกว่า $40$ คะแนนเป็น $10\%$ ของนักเรียนทั้งหมด แล้วจำนวนนักเรียนที่ได้คะแนนมากกว่า $65$ คะแนน คิดเป็นกี่เปอร์เซ็นต์ของนักเรียนทั้งหมด

ค่ามาตรฐาน $0.10$ $0.32$ $0.40$ $1.00$ $1.28$
พื้นที่ $0.0398$ $0.1255$ $0.1554$ $0.3413$ $0.4000$

 

เฉลยละเอียด

[STEP]หาค่า $\bar{x}$ และ $s$[/STEP]

เนื่องจากคะแนนสอบของนักเรียนเป็นการแจกแจกปกติ แสดงว่าเราจะใช้ค่ามาตรฐาน $(z)$ และเส้นโค้งปกติมาตรฐานเป็นหลัก

จาก นักเรียนได้คะแนนมากกว่า $80$ คะแนนเป็น $10\%$ ของนักเรียนทั้งหมด วาดเส้นโค้งปกติจะได้

จากนั้นดูค่า $z$ จะได้

แสดงว่าที่คะแนนเท่ากับ $80$ จะมีค่า $z$ เท่ากับ $1.28$ ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
z&=&\frac{x-\bar{x}}{s}\\
1.28&=&\frac{80-\bar{x}}{s}\\
1.28s&=&80-\bar{x}\\
1.28s+\bar{x}&=&80\qquad\cdots(1)
\end{eqnarray*}

จาก นักเรียนที่ได้คะแนนน้อยกว่า $40$ คะแนนเป็น $10\%$ ของนักเรียนทั้งหมด จะได้

จากนั้นดูค่า $z$ จะได้

แสดงว่าที่คะแนนเท่ากับ $40$ จะมีค่า $z$ เท่ากับ $-1.28$ ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
z&=&\frac{x-\bar{x}}{s}\\
-1.28&=&\frac{40-\bar{x}}{s}\\
-1.28s&=&40-\bar{x}\\
-1.28s+\bar{x}&=&40\qquad\cdots(2)
\end{eqnarray*}

นำ $(1)-(2)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
1.28s-(-1.28s)&=&80-40\\
2.56s&=&40\\
s&=&\frac{40}{2.56}\\
s&=&15.625
\end{eqnarray*}

นำ $s=15.625$ แทนค่าใน $(1)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
1.28s+\bar{x}&=&80\\
1.28(15.625)+\bar{x}&=&80\\
20+\bar{x}&=&80\\
\bar{x}&=&60
\end{eqnarray*}

[STEP]หาค่า $z$ ของ $65$[/STEP]

ที่คะแนนเท่ากับ $65$ จะได้

\begin{eqnarray*}
z&=&\frac{x-\bar{x}}{s}\\
&=&\frac{65-60}{15.625}\\
&=&\frac{5}{15.625}\\
&=&0.32
\end{eqnarray*}

วาดเส้นโค้งปกติมาตรฐานจะได้

จำนวนนักเรียนที่ได้คะแนนมากกว่า $65$ คิดเป็น

$$0.5-0.1255=0.3745$$

ดังนั้นจำนวนนักเรียนที่ได้คะแนนมากกว่า $65$ คือ

$$37.45\%$$

[ANS] $37.45\%$ [/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : เปอร์เซ็นไทล์ ค่ามาตรฐาน