ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ นักเรียนที่ได้เกรด $A$ จะต้องเป็นนักเรียนที่ได้คะแนนสูงสุด $10\%$ ถ้านักเรียนห้องนี้มีทั้งหมด $80$ คน และผลสอบของนักเรียนกลุ่มนี้สรุปได้ตามตารางต่อไปนี้ 

คะแนน

จำนวนนักเรียน

$31-40$ $6$
$41-50$ $x$
$51-60$ $18$
$61-70$ $25$
$71-80$ $10$
$81-90$ $y$
$91-100$ $3$

ถ้าเปอร์เซ็นไทล์ที่ $20$ ของคะแนนนักเรียนทั้งหมดเท่ากับ $50.5$ คะแนน แล้ว คะแนนต่ำที่สุดที่นักเรียนจะได้เกรด $A$ เท่ากับเท่าใด

 

เฉลยละเอียด

[STEP]สร้างตารางความถี่สะสม[/STEP]

สร้างตารางความถี่สะสมโดย $3$ ชั้นแรกบวกจากบนลงล่าง

คะแนน

จำนวนนักเรียน

ความถี่สะสม $(F)$
$31-40$ $6$ $6$
$41-50$ $x$ $6+x$
$51-60$ $18$ $24+x$
$61-70$ $25$  
$71-80$ $10$  
$81-90$ $y$  
$91-100$ $3$  

[STEP]หาค่า $x$[/STEP]

โจทย์กำหนดให้ว่า $P_{20}=50.5$

ขั้นแรกจะต้องหาให้ได้ก่อนว่า $P_{20}$ อยู่ในชั้นใด

ตำแหน่งของ $P_{20}$ คือ

$$20\cdot\frac{80}{100}=16$$

ตำแหน่งที่ $16$ ค่าของ $P_{20}$ เท่ากับ $50.5$ ซึ่งเป็นขอบบนของชั้นที่ $2$ พอดี จะได้ว่าคนที่อยู่ที่ตำแหน่ง $16$ จะต้องเป็นคนสุดท้ายของชั้นที่ $2$ 

ดังนั้น 

$$x=10$$

[STEP]หาค่า $y$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
6+10+18+25+10+y+3&=&80\\
72+y&=&80\\
y&=&8
\end{eqnarray*}

[STEP]หา $P_{90}$[/STEP]

เนื่องจากคนที่จะได้เกรด $A$ จะต้องเป็นนักเรียนที่ได้คะแนนสูงสุด $10\%$ แรกของนักเรียนทั้งหมด

แสดงว่าคะแนนน้อยที่สุดที่ได้เกรด $A$ คือ $P_{90}$

สร้างตารางความถี่สะสมใหม่

คะแนน

จำนวนนักเรียน

ความถี่สะสม $(F)$
$31-40$ $6$ $6$
$41-50$ $10$ $16$
$51-60$ $18$ $34$
$61-70$ $25$ $59$
$71-80$ $10$ $69$
$81-90$ $8$ $77$
$91-100$ $3$ $80$

หาตำแหน่งของ $P_{90}$

ตำแหน่งของ $P_{90}$ คือ

$$90\cdot\frac{80}{100}=72$$

ซึ่งตำแหน่งที่ $72$ อยู่ในชั้นที่ $6$ จะได้

\begin{eqnarray*}
P_{90}&=&L+I\cdot\left(\frac{90\cdot\frac{N}{100}-F_{ชั้นก่อนหน้า}}{f}\right)\\
&=&80.5+10\cdot\left(\frac{72-69}{8}\right)\\
&=&80.5+10\cdot\left(\frac38\right)\\
&=&80.5+3.75\\
&=&84.25
\end{eqnarray*}

[ANS] $84.25$ [/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ตารางแจกแจงความถี่ ค่ามาตรฐาน