ถ้า $$2^x\cdot2^{x+1}\cdot2^{x+2}=4^x+4^{x+1}+4^{x+2}$$ แล้ว $x$ มีค่าเท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]จัดรูปสมการให้จำนวนพจน์ของเลขน้อยลง[/STEP]

รวมกำลังของพจน์ทางซ้าย ส่วนทางขวาดึงตัวร่วม $4^x$ ออก

\begin{eqnarray*}
2^x\cdot2^{x+1}\cdot2^{x+2}&=&4^x+4^{x+1}+4^{x+2}\\
2^{x+x+1+x+2}&=&4^x(1+4+4^2)\\
2^{3x+3}&=&4^{x}(21)
\end{eqnarray*}

จากนั้นแยกคูณพจน์ $2^{3x+3}$ เป็น $2^{3x}\cdot2^3$ และเปลี่ยนฐาน $4^x$ เป็นฐาน $2$

\begin{eqnarray*}
2^{3x+3} &=& 4^x(21)
2^{3x}\cdot2^3 &=& \left(2^2\right)^x (21)\\
2^{3x}\cdot8 &=& 2^{2x}\cdot21\\
8\cdot2^{3x} &=& 21\cdot2^{2x}
\end{eqnarray*}

หารตลอดด้วย $2^{2x}$ และ $8$ เพื่อนำพจน์ที่เป็นเลขยกกำลังมารวมกัน และเพื่อให้พจน์ที่เหลือไปอยู่ด้านตรงกันข้าม

\begin{eqnarray*}
8\cdot2^{3x} &=& 21\cdot2^{2x}\\
\frac{8\cdot2^{3x}}{8\cdot2^{2x}} &=& \frac{21\cdot2^{2x}}{8\cdot2^{2x}}\\
\frac{\cancel{8}\cdot2^{3x}}{\cancel{8}\cdot2^{2x}} &=& \frac{21\cdot\bcancel{2^{2x}}}{8\cdot\bcancel{2^{2x}}}\\
\frac{2^{3x}}{2^{2x}}&=&\frac{21}{8}\\
2^x&=&\frac{21}{8}
\end{eqnarray*}

take $\log_2$ ฐานสองทั้งสองข้างเพื่อปลดให้เหลือ $x$ ทางซ้ายเพียงตัวเดียว

\begin{eqnarray*}
2^x&=&\frac{21}{8}\\
\log_22^x&=&\log_2\left(\frac{21}{8}\right)\\
x&=&\log_2\left(\frac{21}{8}\right)
\end{eqnarray*}

[ANS] $x=\log_2\left(\frac{21}{8}\right)$ [/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การแก้สมการเอกซ์โพเนนเชียล