กำหนดให้ $ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยที่มีมุม $\hat{C}$ เป็นมุมฉาก และ $\hat{A}<\hat{B}$ ถ้า

$$\left(\cos{2A}+\cos{B}\right)^2+\left(\sin{2A}+\sin{B}\right)^2=3$$ แล้ว $\tan{3A}$ มีค่าเท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]กระจายกำลังสอง ใช้สูตรปีทาโกรัสของตรีโกณจัดรูปสมการใหม่[/STEP]

กระจายกำลังสอง

\begin{eqnarray*}
3 & = & \left(\cos2A+\cos B\right)^{2}+\left(\sin2A+\sin B\right)^{2}\\
 & = & \left(\cos^{2}2A+2\cos2A\cos B+\cos^{2}B\right)\\
 &  & +\left(\sin^{2}2A+2\sin2A\sin B+\sin^{2}B\right)
\end{eqnarray*}

จับคู่ $\sin^22A$ กับ $\cos^22A$ และจับคู่ $\sin^2B$ กับ $\cos^2B$ เข้าด้วยกัน แล้วใช้สูตรปีทาโกรัสของตรีโกณ $\sin^2x+\cos^2x=1$

\begin{eqnarray*}
3 & = & \left(\cos^{2}2A+\sin^{2}2A\right)+\left(\cos^{2}B+\sin^{2}B\right)\\
 &  & +2\cos2A\cos B+2\sin2A\sin B\\
 & = & \left(1\right)+\left(1\right)+2\cos2A\cos B+2\sin2A\sin B\\
3-2 & = & 2\cos2A\cos B+2\sin2A\sin B\\
1 & = & 2\cos2A\cos B+2\sin2A\sin B
\end{eqnarray*}

หารด้วย $2$ ตลอด แล้วใช้สูตรคอสผลต่าง $\cos(x-y) = \cos x\cos y + \sin x\sin y$ รวมสองพจน์ด้านขวาเข้าด้วยกัน

\begin{eqnarray*}
1 & = & 2\cos2A\cos B+2\sin2A\sin B\\
\frac{1}{2} & = & \cos2A\cos B+\sin2A\sin B\\
\frac{1}{2} & = & \cos\left(2A-B\right)
\end{eqnarray*}

[STEP]แก้สมการ $\cos(2A-B)=\frac12$[/STEP]

จากที่โจทย์กำหนดให้ $ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มี $\hat{C}$ เป็นมุมฉาก แสดงว่ามุม $\hat{A}+\hat{B} = 90^{\circ}$ ดังรูป

จากสมการ $\cos(2A-B) = \frac12$ จะได้ว่า $2A-B$ ต้องเป็นมุมที่หาค่าคอสได้ $\frac12$ ซึ่งทำให้ $2A-B$ น่าจะมีค่าเท่ากับ $60^{\circ}$ แต่ถ้าหากเราเลือกให้ $2A-B=60^{\circ}$ และจาก $A+B=90^{\circ}$ แก้ระบบสมการโดยจับสองสมการนี้บวกกัน จะได้

$$\cancel{\begin{eqnarray*}
2A-B & = & 60^{\circ}\qquad\cdots\left(1\right)\\
A+B & = & 90^{\circ}\qquad\cdots\left(2\right)\\
3A & = & 60^{\circ}+90^{\circ}\\
3A & = & 150^{\circ}\\
A & = & \frac{150^{\circ}}{3}\\
 & = & 50^{\circ}
\end{eqnarray*}}$$

และเมื่อแทนค่า $A=50^{\circ}$ ลงในสมการ $A+B=90^{\circ}$ จะได้ $B=40^{\circ}$ ซึ่งขัดแย้งกับการที่โจทย์กำหนดให้ $\hat{A}<\hat{B}$ ดังนั้น $2A-B\neq 60^{\circ}$, $A\neq50^{\circ}$ และ $A\neq40^{\circ}$

ทดลองเลือก $2A-B=-60^{\circ}$ ซึ่งมีค่า $\cos(2A-B) = \frac12$ เช่นเดียวกัน  แล้วนำมาร่วมกับสมการ $A+B=90^{\circ}$ จับสมการทั้งสองบวกกันแก้หามุม $A$ และ $B$ ตามลำดับ

\begin{eqnarray*}
2A-B & = & -60^{\circ}\qquad\cdots\left(1\right)\\
A+B & = & 90^{\circ}\qquad\cdots\left(2\right)\\
3A & = & -60^{\circ}+90^{\circ}\\
3A & = & 30^{\circ}\\
A & = & \frac{30^{\circ}}{3}\\
 & = & 10^{\circ}
\end{eqnarray*}

เมื่อแทนค่า $A=10^{\circ}$ ลงในสมการ $A+B=90^{\circ}$ จะได้ $B=80^{\circ}$ ซึ่งสอดคล้องกับอสมการที่โจทย์กำหนดว่า $\hat{A}<\hat{B}$

ดังนั้นเราจึงสรุปว่า $3A=30^{\circ}$

[STEP]คำนวณ $\tan3A$[/STEP]

จากขั้นตอนที่แล้วที่เราทราบว่า $3A=30^{\circ}$ แทนค่าลงใน $\tan3A$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\tan3A & = & \tan\left(30^{\circ}\right)\\
 & = & \frac{1}{\sqrt3}
\end{eqnarray*}

[ANS] $\frac{1}{\sqrt3}$ [/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การแก้สมการตรีโกณมิติ