กำหนดให้ $\vec{u}$ และ $\vec{v}$ เป็นเวกเตอร์ใด ๆ ใน $3$ มิติ ที่ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์ และไม่ขนานกัน จงพิจาณาข้อความต่อไปนี้

(ก) $\left|\vec{u}\times\vec{v}\right|\leq\left|\vec{u}\right|\left|\vec{v}\right|$

(ข) $\vec{u}\times\left(\vec{u}+\vec{v}\right)=\vec{u}\times\vec{v}$

(ค) $\left|\vec{u}\times\vec{v}\right|^2+\left|\vec{u}\cdot\vec{v}\right|^2=\left|\vec{u}\right|^2\left|\vec{v}\right|^2$

(ง) $\left(5\vec{u}\times\vec{v}\right)\cdot5\vec{v}=25$

มีข้อความที่ถูกต้องกี่ข้อความ

เฉลยละเอียด

[STEP]ใช้สูตรขนาดผลครอสเวกเตอร์ตรวจสอบข้อ $1$[/STEP]

จากสูตรขนาดของผลครอสเวกเตอร์

$$\left|\vec{u}\times\vec{v}\right|=\left|\vec{u}\right|\left|\vec{v}\right|\sin\theta$$

เมื่อ $\theta$ คือมุมที่หางของเวกเตอร์ $\vec{u}$ ทำมุมกับ $\vec{v}$ ซึ่งทำมุมกันไม่เกิน $180^{\circ}$

และเนื่องจาก $0\leq \theta \leq 180^{\circ}$ เราทราบว่าค่า $\sin\theta$ มีค่าไม่เป็นลบ

เราจึงได้ว่า

\begin{eqnarray*}
\left|\vec{u}\times\vec{v}\right| & = & \left|\vec{u}\right|\left|\vec{v}\right|\sin\theta\\
 & \leq & \left|\vec{u}\right|\left|\vec{v}\right|\left(1\right)\\
\left|\vec{u}\times\vec{v}\right| & \leq & \left|\vec{u}\right|\left|\vec{v}\right|
\end{eqnarray*}

ดังนั้นข้อความ $1$ กล่าวถูกต้องแล้ว

[STEP]ใช้สูตรกระจายการครอสเข้าไปในผลบวก และ $\vec{u}\times\vec{u} = \vec{0}$ ตรวจสอบข้อความ $2$[/STEP]

จากสูตรกระจายการครอสเข้าไปในผลบวก

$$\vec{a}\times\left( \vec{b} +\vec{c} \right) = \left(\vec{a} \times \vec{b}\right) + \left( \vec{a} \times \vec{c}\right)$$

จะได้

$$\vec{u}\times\left(\vec{u}+\vec{v}\right)=\left(\vec{u}\times\vec{u}\right)+\left(\vec{u}\times\vec{v}\right)$$

แต่เนื่องจากเวกเตอร์เมื่อครอสกับตัวเองแล้วจะได้เวกเตอร์ศูนย์ $(\vec{u}\times\vec{u} = \vec{0})$ ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
\vec{u}\times\left(\vec{u}+\vec{v}\right) & = & \left(\vec{u}\times\vec{u}\right)+\left(\vec{u}\times\vec{v}\right)\\
 & = & \vec{0}+\left(\vec{u}\times\vec{v}\right)\\
 & = & \vec{u}\times\vec{v}
\end{eqnarray*}

นั่นคือ ข้อความที่ $2$ กล่าวถูกต้องแล้ว

[STEP]ใช้สูตรขนาดของผลครอสและผลดอทตรวจสอบข้อความ $3$[/STEP]

จากสูตรขนาดของผลครอสและขนาดของผลดอท

\begin{eqnarray*}
\left|\vec{u}\times\vec{v}\right| & = & \left|\vec{u}\right|\left|\vec{v}\right|\sin\theta\\
\left|\vec{u}\cdot\vec{v}\right| & = & \left|\vec{u}\right|\left|\vec{v}\right|\cos\theta
\end{eqnarray*}

 

แทนค่าลงในข้อความที่ $3$ แล้วกระจายกำลังสองเข้าไปจะได้

\begin{eqnarray*}
\left|\vec{u}\times\vec{v}\right|^{2}+\left|\vec{u}\cdot\vec{v}\right|^{2} & = & \left(\left|\vec{u}\right|\left|\vec{v}\right|\sin\theta\right)^{2}+\left(\left|\vec{u}\right|\left|\vec{v}\right|\cos\theta\right)^{2}\\
 & = & \left|\vec{u}\right|^{2}\left|\vec{v}\right|^{2}\sin^{2}\theta+\left|\vec{u}\right|^{2}\left|\vec{v}\right|^{2}\cos^{2}\theta
\end{eqnarray*}

ดึงตัวร่วม $\left|\vec{u}\right|^{2}\left|\vec{v}\right|^{2}$ ออก แล้วใช้สูตรปีทาโกรัสของตรีโกณ $\sin^2 x+\cos^2x=1$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\left|\vec{u}\times\vec{v}\right|^{2}+\left|\vec{u}\cdot\vec{v}\right|^{2} & = & \left|\vec{u}\right|^{2}\left|\vec{v}\right|^{2}\sin^{2}\theta+\left|\vec{u}\right|^{2}\left|\vec{v}\right|^{2}\cos^{2}\theta\\
 & = & \left|\vec{u}\right|^{2}\left|\vec{v}\right|^{2}\left(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta\right)\\
 & = & \left|\vec{u}\right|^{2}\left|\vec{v}\right|^{2}\left(1\right)\\
\left|\vec{u}\times\vec{v}\right|^{2}+\left|\vec{u}\cdot\vec{v}\right|^{2} & = & \left|\vec{u}\right|^{2}\left|\vec{v}\right|^{2}
\end{eqnarray*}

ดังนั้นข้อความที่ $3$ กล่าวถูกต้องแล้วเช่นกัน

[STEP]ตรวจสอบข้อความที่ $4$ โดยใช้สูตรสลับที่การดอทกับการครอส[/STEP]

จาก $\left( 5\vec{u}\times\vec{v}\right) \cdot 5\vec{v}$ ดึงสัมประสิทธิ์(ค่าคงตัว)ออกมาด้านหน้า สลับที่ผลดอท และใช้สูตรสลับที่การดอทกับการครอสตามสูตร $$\vec{a}\cdot\left(\vec{b}\times\vec{c}\right)=\vec{b}\cdot\left(\vec{c}\times\vec{a}\right)=\vec{c}\cdot\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)$$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\left(5\vec{u}\times\vec{v}\right)\cdot5\vec{v} & = & 25\left[\left(\vec{u}\times\vec{v}\right)\cdot\vec{v}\right]\\
 & = & 25\left[\vec{v}\cdot\left(\vec{u}\times\vec{v}\right)\right]\\
 & = & 25\left[\vec{u}\cdot\left(\vec{v}\times\vec{v}\right)\right]
\end{eqnarray*}

เนื่องจาก $\vec{v}\times\vec{v} = \vec{0}$ และเวกเตอร์ใดๆ ดอทกับเวกเตอร์ศูนย์จะได้ศูนย์เสมอ

\begin{eqnarray*}
\left(5\vec{u}\times\vec{v}\right)\cdot5\vec{v} & = & 25\left[\vec{u}\cdot\left(\vec{v}\times\vec{v}\right)\right]\\
 & = & 25\left[\vec{u}\cdot\vec{0}\right]\\
 & = & 25\left[0\right]\\
 & = & 0\\
 & \neq & 25
\end{eqnarray*}

ดังนั้นข้อความที่ $4$ กล่าวผิด

[STEP]สรุป[/STEP]

จากขั้นตอนผ่านๆ มา

  1. $\left|\vec{u}\times\vec{v}\right|\leq\left|\vec{u}\right|\left|\vec{v}\right|$ ถูก
  2. $\vec{u}\times\left(\vec{u}+\vec{v}\right)=\vec{u}\times\vec{v}$ ถูก
  3. $\left|\vec{u}\times\vec{v}\right|^2+\left|\vec{u}\cdot\vec{v}\right|^2=\left|\vec{u}\right|^2\left|\vec{v}\right|^2$ ถูก
  4. $\left(5\vec{u}\times\vec{v}\right)\cdot5\vec{v}=25$ ผิด

จะได้ว่ามีข้อความที่กล่าวถูกทั้งหมด $3$ ข้อความ

[ANS] $3$ [/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การดอทเวกเตอร์ การครอสเวกเตอร์