,

จากสูตรขนาดของผลครอสเวกเตอร์

เมื่อ $\theta$ คือมุมที่หางของเวกเตอร์ $\vec{u}$ ทำมุมกับ $\vec{v}$ ซึ่งทำมุมกันไม่เกิน $180^{\circ}$

และเนื่องจาก $0\leq \theta \leq 180^{\circ}$ เราทราบว่าค่า $\sin\theta$ มีค่าไม่เป็นลบ

เราจึงได้ว่า

$$\begin{eqnarray*} \left|\vec{u}\times\vec{v}\right| & = & \left|\vec{u}\right|\left|\vec{v}\right|\sin\theta\\  & \leq & \left|\vec{u}\right|\left|\vec{v}\right|\left(1\right)\\ \left|\vec{u}\times\vec{v}\right| & \leq & \left|\vec{u}\right|\left|\vec{v}\right| \end{eqnarray*}$$

ดังนั้นข้อความ $1$ กล่าวถูกต้องแล้ว

,

จากสูตรกระจายการครอสเข้าไปในผลบวก

$$\vec{a}\times\left( \vec{b} +\vec{c} \right) = \left(\vec{a} \times \vec{b}\right) + \left( \vec{a} \times \vec{c}\right)$$

จะได้

$$\vec{u}\times\left(\vec{u}+\vec{v}\right)=\left(\vec{u}\times\vec{u}\right)+\left(\vec{u}\times\vec{v}\right)$$

แต่เนื่องจากเวกเตอร์เมื่อครอสกับตัวเองแล้วจะได้เวกเตอร์ศูนย์ $(\vec{u}\times\vec{u} = \vec{0})$ ดังนั้น

$$\begin{eqnarray*} \vec{u}\times\left(\vec{u}+\vec{v}\right) & = & \left(\vec{u}\times\vec{u}\right)+\left(\vec{u}\times\vec{v}\right)\\  & = & \vec{0}+\left(\vec{u}\times\vec{v}\right)\\  & = & \vec{u}\times\vec{v} \end{eqnarray*}$$

นั่นคือ ข้อความที่ $2$ กล่าวถูกต้องแล้ว

,

จากสูตรขนาดของผลครอสและขนาดของผลดอท

$$\begin{eqnarray*} \left|\vec{u}\times\vec{v}\right| & = & \left|\vec{u}\right|\left|\vec{v}\right|\sin\theta\\ \left|\vec{u}\cdot\vec{v}\right| & = & \left|\vec{u}\right|\left|\vec{v}\right|\cos\theta \end{eqnarray*}$$

แทนค่าลงในข้อความที่ $3$ แล้วกระจายกำลังสองเข้าไปจะได้

$$\begin{eqnarray*} \left|\vec{u}\times\vec{v}\right|^{2}+\left|\vec{u}\cdot\vec{v}\right|^{2} & = & \left(\left|\vec{u}\right|\left|\vec{v}\right|\sin\theta\right)^{2}+\left(\left|\vec{u}\right|\left|\vec{v}\right|\cos\theta\right)^{2}\\  & = & \left|\vec{u}\right|^{2}\left|\vec{v}\right|^{2}\sin^{2}\theta+\left|\vec{u}\right|^{2}\left|\vec{v}\right|^{2}\cos^{2}\theta \end{eqnarray*}$$

ดึงตัวร่วม $\left|\vec{u}\right|^{2}\left|\vec{v}\right|^{2}$ ออก แล้วใช้สูตรปีทาโกรัสของตรีโกณ $\sin^2 x+\cos^2x=1$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} \left|\vec{u}\times\vec{v}\right|^{2}+\left|\vec{u}\cdot\vec{v}\right|^{2} & = & \left|\vec{u}\right|^{2}\left|\vec{v}\right|^{2}\sin^{2}\theta+\left|\vec{u}\right|^{2}\left|\vec{v}\right|^{2}\cos^{2}\theta\\  & = & \left|\vec{u}\right|^{2}\left|\vec{v}\right|^{2}\left(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta\right)\\  & = & \left|\vec{u}\right|^{2}\left|\vec{v}\right|^{2}\left(1\right)\\ \left|\vec{u}\times\vec{v}\right|^{2}+\left|\vec{u}\cdot\vec{v}\right|^{2} & = & \left|\vec{u}\right|^{2}\left|\vec{v}\right|^{2} \end{eqnarray*}$$

ดังนั้นข้อความที่ $3$ กล่าวถูกต้องแล้วเช่นกัน

,

จาก $\left( 5\vec{u}\times\vec{v}\right) \cdot 5\vec{v}$ ดึงสัมประสิทธิ์(ค่าคงตัว)ออกมาด้านหน้า สลับที่ผลดอท และใช้สูตรสลับที่การดอทกับการครอสตามสูตร $$\vec{a}\cdot\left(\vec{b}\times\vec{c}\right)=\vec{b}\cdot\left(\vec{c}\times\vec{a}\right)=\vec{c}\cdot\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)$$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} \left(5\vec{u}\times\vec{v}\right)\cdot5\vec{v} & = & 25\left[\left(\vec{u}\times\vec{v}\right)\cdot\vec{v}\right]\\  & = & 25\left[\vec{v}\cdot\left(\vec{u}\times\vec{v}\right)\right]\\  & = & 25\left[\vec{u}\cdot\left(\vec{v}\times\vec{v}\right)\right] \end{eqnarray*}$$

เนื่องจาก $\vec{v}\times\vec{v} = \vec{0}$ และเวกเตอร์ใดๆ ดอทกับเวกเตอร์ศูนย์จะได้ศูนย์เสมอ

$$\begin{eqnarray*} \left(5\vec{u}\times\vec{v}\right)\cdot5\vec{v} & = & 25\left[\vec{u}\cdot\left(\vec{v}\times\vec{v}\right)\right]\\  & = & 25\left[\vec{u}\cdot\vec{0}\right]\\  & = & 25\left[0\right]\\  & = & 0\\  & \neq & 25 \end{eqnarray*}$$

ดังนั้นข้อความที่ $4$ กล่าวผิด

,

จากขั้นตอนผ่านๆ มา

1. $\left|\vec{u}\times\vec{v}\right|\leq\left|\vec{u}\right|\left|\vec{v}\right|$ ถูก
2. $\vec{u}\times\left(\vec{u}+\vec{v}\right)=\vec{u}\times\vec{v}$ ถูก
3. $\left|\vec{u}\times\vec{v}\right|^2+\left|\vec{u}\cdot\vec{v}\right|^2=\left|\vec{u}\right|^2\left|\vec{v}\right|^2$ ถูก
4. $\left(5\vec{u}\times\vec{v}\right)\cdot5\vec{v}=25$ ผิด

จะได้ว่ามีข้อความที่กล่าวถูกทั้งหมด $3$ ข้อความ