กำหนดให้ $m$ และ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่ง $m=n+2$ และ ค.ร.น. ของ $m$ กับ $n$ เท่ากับ $180$

แล้วผลคูณ $mn$ มีค่าเท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาความเป็นเลขคู่เลขคี่ของ $m$ กับ $n$[/STEP]

จากสมการความสัมพันธ์

$$m=n+2$$

พบว่าถ้า $m$ เป็นเลขคี่จะได้ $n$ เป็นเลขคี่ด้วย เพราะ $m$ กับ $n$ ห่างกันอยู่ $2$
ทำนองเดียวกันถ้า $m$ เป็นเลขคู่ จะได้ $n$ เป็นเลขคู่ด้วยเช่นเดียวกัน

ดังนั้น $m$ กับ $n$ เลขเลขคี่เหมือนกัน หรือไม่ก็เป็นเลขคู่เหมือนกัน

เนื่องจาก ค.ร.น. ของ $m$ กับ $n$ เท่ากับ $180$ แสดงว่า อย่างน้อย $m$ กับ $n$ ต้องมีอย่างน้อยหนึ่งตัวเลขเลขคู่ ซึ่งถ้าหากตัวใดตัวหนึ่งเป็นเลขคู่ก็จะส่งผลให้อีกตัวต้องเป็นเลขคู่ด้วย เพราะเราทราบมาก่อนแล้วว่า $m$ กับ $n$ เป็นเลขคู่ หรือเลขคี่เหมือนกัน  

เราจึงสามารถสรุปได้ว่า $m$ กับ $n$ ต่างก็เป็นเลขคู่ทั้งสองจำนวน

[STEP]หา ห.ร.ม. ของ $m$ กับ $n$[/STEP]

เนื่องจากเราทราบจากขั้นตอนที่แล้วว่า $m$ กับ $n$ ต่างก็เป็นเลขคู่ ดังนั้น ห.ร.ม. ของ $m$ กับ $n$ จะต้องหารด้วย $2$ ลงตัว

กำหนดให้สัญลักษณ์ $(a,b)$ แทน ห.ร.ม.ของ $a$ กับ $b$

โดยขั้นตอนการหารของยูคลิดที่บอกว่า $(a,b) = (a-b,b)$ เสมอ เราจะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
(m,n) &=& (n+2,n)\\
&=& (n+2-n,n) \\
&=& (2,n)
\end{eqnarray*}

ดังนั้น ห.ร.ม. ของ $m$ กับ $n$ เท่ากับ ห.ร.ม. ของ $2$ กับ $n$ แต่เนื่องจากจำนวนที่มากที่สุดที่หาร $2$ ลงตัว คือ เลข $2$ เอง เราจึงทราบว่า ห.ร.ม.ของ $n$ กับ $2$ มีค่าไม่เกิน $2$ แน่นอน ซึ่งส่งผลให้ ห.ร.ม. ของ $m$ กับ $n$ มีค่าเท่ากับ $2$ ไปด้วย

[STEP]คำนวณผลคูณ $mn$[/STEP]

จากสูตรผลคูณของ ห.ร.ม. กับ ค.ร.น. ของ $m$ กับ $n$ มีค่าเท่ากับผลคูณของ $m$ กับ $n$ จะได้

\begin{eqnarray*}
m\times n &=& \left(\text{ห.ร.ม. ของ }m\text{ กับ }n\right) \times \left(\text{ ค.ร.น. ของ }m\text{ กับ }n\right)\\
m\times n &=& (2) \times (180)\\
m\times n &=& 360
\end{eqnarray*}

[ANS] $360$ [/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ตัวหารร่วมมากและตัวคูณร่วมน้อย