กำหนดให้ $x_1,x_2,x_3$ เป็นรากของสมการ

$$8x^3+6x^2-5x-3=0$$

โดยที่ $x_1<x_2<x_3$ แล้วค่าของ $x_1+x_3$ มีค่าเท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[step]ใช้ทฤษฎีตัวประกอบตรรกยะแยกตัวประกอบของพหุนามในสมการ[/step]

ให้ $p(x)$ แทนพหุนาม $8x^3+6x^2-5x-3$

ทดลองแทนตัวประกอบของ $3$ ซึ่งได้แก่ $\pm1,\pm3$ (ตามทฤษฎีตัวประกอบตรรกยะ)

แทน $x=1$ ลงใน $p(x)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
p(1) &=& 8(1)^3+6(1)^2-5(1)-3\\
&=& 8+6-5-3\\
&=& 6\\
&\neq& 0
\end{eqnarray*}

พบว่า $p(1)\neq0$ ดังนั้น $x-1$ ไม่ใช่ตัวประกอบของ $p(x)$

ทดลองแทน $x=-1$ ลงใน $p(x)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
p(-1) &=& 8(-1)^3+6(-1)^2-5(-1) -3\\
&=& 8(-1)+6(1)-5(-1)-3\\
&=& -8+6+5-3\\
&=& 0
\end{eqnarray*}

พบว่า $p(-1)=0$ ดังนั้น $x-(-1)$ หรือ $x+1$ เป็นตัวประกอบของ $p(x)$

[step]หารสังเคราะห์ $p(x)$ ด้วย $x+1$[/step]

$$\begin{array}{c|rrrr}
-1 & 8 & 6 & -5 & -3\\
 &  & -8 & 2 & 3\\
\hline
& 8 & -2 & -3 & 0\\
\end{array}$$

จะได้ผลหารตามสัมประสิทธิ์ในบรรทัดที่สามเป็น $8x^2-2x-3$ นั่นคือ

$$8x^3+6x^2-5x-3 = (x+1)\left(8x^2-2x-3\right)$$

[step]แยกตัวประกอบ $8x^2-2x-3$ เป็นสองวงเล็บ[/step]

ทดลองแยกตัวประกอบ

\begin{eqnarray*}
8x^2-2x-3 &=& \left(4x\qquad\right)\left(2x\qquad\right)\\
&=& \left(4x-3\right)\left( 2x +1\right)
\end{eqnarray*}

[step]สรุปคำตอบของสมการพหุนามและหา $-\left(x_1+x_3\right)$[/step]

จาก

\begin{eqnarray*}
8x^3 + 6x^2 - 5x - 3 &=&0 \\
 (x+1)\left(8x^2 - 2x -3\right) &=& 0\\
(x+1)\left(4x -3 \right)\left(2x+1\right) &=& 0
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $x=-1$, $x=\frac34$ และ $x=-\frac12$ เป็นคำตอบของสมการพหุนาม $8x^3 + 6x^2 - 5x - 3 =0$

และเนื่องจาก $x_1<x_2<x_3$ เป็นคำตอบของสมการพหุนามนี้ที่เรียงลำดับจากน้อยไปมาก ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
x_1 &=& -1\\
x_2 &=& -\frac12\\
x_3 &=& \frac34
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
 x_1 + x_3  &=& (-1) + \left(\frac34 \right)\\
&=&  -\frac44 +\frac34\\
&=&  -\frac14 \\
\end{eqnarray*}

[ANS]$-\frac14$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : เทคนิคการสร้างพหุนามให้มีรากตามที่กำหนดให้