กำหนดให้ $x=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$ แล้วค่าของ

$$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^nx^{3n}}$$

เท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]จัดรูปและหาผลราวม[/STEP]

จาก $x=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$  จะได้

\begin{eqnarray*}
\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^nx^{3n}}&=&\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n\left(\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\right)^{3n}}\\
&=&\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n\left(3^{-\frac13}\right)^{3n}}\\
&=&\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n\left(3^{-\frac{3n}{3}}\right)}\\
&=&\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n\left(3^{-n}\right)}\\
&=&\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n\left(\frac{1}{3^n}\right)}\\
&=&\sum_{n=0}^{\infty}{\left(-\frac13\right)^n}
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะได้ว่า $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\left(-\frac13\right)^n}$ เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ $-\displaystyle\frac13$ ซึ่ง $\left|-\frac13\right|<1$ ดังนั้นสามารถหาผลรวมอนันต์ได้

ซึ่งผลรวมอนันต์ของอนุกรมเราขาคณิตคือ

$$\frac{a_1}{1-r}$$

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^nx^{3n}}&=&\sum_{n=0}^{\infty}{\left(-\frac13\right)^n}\\
&=&\frac{{\frac13}^0}{1-\left(-\frac13\right)}\\
&=&\frac{1}{1+\frac13}\\
&=&\frac{1}{\frac43}\\
&=&\frac34\\
&=&0.75
\end{eqnarray*}

[ANS]$0.75$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ลำดับและอนุกรมเรขาคณิต