ถ้า $a_n=\frac{n^3}{n^2+3}-\frac{n^2}{n+2}$  เมื่อ  $n=1,2,3,\cdots$  แล้ว $\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}a_n$  มีค่าเท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]จัดรูป $a_n$ ให้อยู่ในรูปเศษส่วนพหุนาม[/STEP]

ปรับให้ทั้งสองเทอมมีส่วนเท่ากัน จะได้รวมเป็นเทอมเดียวกันได้

\begin{eqnarray*}
a_{n} & = & \frac{n^{3}}{n^{2}+3}-\frac{n^{2}}{n+2}\\
 & = & \frac{n^{3}}{n^{2}+3}\cdot\frac{\left(n+2\right)}{\left(n+2\right)}-\frac{n^{2}}{n+2}\cdot\frac{\left(n^{2}+3\right)}{\left(n^{2}+3\right)}\\
 & = & \frac{n^{3}\left(n+2\right)}{\left(n^{2}+3\right)\left(n+2\right)}-\frac{n^{2}\left(n^{2}+3\right)}{\left(n+2\right)\left(n^{2}+3\right)}
\end{eqnarray*}

กระจายผลคูณทั้งเศษและส่วน เพื่อให้พร้อมนำไปคำนวณค่า $\lim a_n$

\begin{eqnarray*}
a_n & = & \frac{n^{3}\left(n+2\right)-n^{2}\left(n^{2}+3\right)}{\left(n^{2}+3\right)\left(n+2\right)}\\
 & = & \frac{\left(n^{4}+2n^{3}\right)-\left(n^{4}+3n^{2}\right)}{n^{3}+2n^{2}+3n+6}\\
 & = & \frac{n^{4}+2n^{3}-n^{4}-3n^{2}}{n^{3}+2n^{2}+3n+6}\\
 & = & \frac{\cancel{n^{4}}+2n^{3}\cancel{-n^{4}}-3n^{2}}{n^{3}+2n^{2}+3n+6}\\ & = & \frac{n^{4}+2n^{3}-n^{4}-3n^{2}}{n^{3}+2n^{2}+3n+6}\\
 & = & \frac{2n^{3}-3n^{2}}{n^{3}+2n^{2}+3n+6}
\end{eqnarray*}

 

[STEP]คำนวณ $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} a_n$[/STEP]

แทนค่า $a_n= \frac{2n^{3}-3n^{2}}{n^{3}+2n^{2}+3n+6}$ แล้วหารด้วย $n^3$ ทั้งเศษและส่วน

\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n} & = & \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2n^{3}-3n^{2}}{n^{3}+2n^{2}+3n+6}\\
 & = & \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{2n^{3}-3n^{2}}{n^{3}}}{\frac{n^{3}+2n^{2}+3n+6}{n^{3}}}\\
 & = & \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2-\frac{2}{n}}{1+\frac{2}{n}+\frac{3}{n^{2}}+\frac{6}{n^{3}}}\\
\end{eqnarray*}

กระจาย $\lim$ เข้าไปในแต่ละเทอมของเศษส่วนพหุนามเพื่อคำนวณลิมิตแยกเป็นรายเทอม

\begin{eqnarray*}
 \lim_{n\rightarrow\infty}a_n & = & \frac{\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}2-\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2}{n}}{\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}1+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2}{n}+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3}{n^{2}}+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{6}{n^{3}}}\\
 & = & \frac{\left(2\right)-\left(0\right)}{\left(1\right)+\left(0\right)+\left(0\right)+\left(0\right)}\\
 & = & \frac{2}{1}\\
 & = & 2
\end{eqnarray*}

[ANS]$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n = 2$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ลิมิตของลำดับ