,

ปรับให้ทั้งสองเทอมมีส่วนเท่ากัน จะได้รวมเป็นเทอมเดียวกันได้

$$\begin{eqnarray*} a_{n} & = & \frac{n^{3}}{n^{2}+3}-\frac{n^{2}}{n+2}\\  & = & \frac{n^{3}}{n^{2}+3}\cdot\frac{\left(n+2\right)}{\left(n+2\right)}-\frac{n^{2}}{n+2}\cdot\frac{\left(n^{2}+3\right)}{\left(n^{2}+3\right)}\\  & = & \frac{n^{3}\left(n+2\right)}{\left(n^{2}+3\right)\left(n+2\right)}-\frac{n^{2}\left(n^{2}+3\right)}{\left(n+2\right)\left(n^{2}+3\right)} \end{eqnarray*}$$

กระจายผลคูณทั้งเศษและส่วน เพื่อให้พร้อมนำไปคำนวณค่า $\lim a_n$

$$\begin{eqnarray*} a_n & = & \frac{n^{3}\left(n+2\right)-n^{2}\left(n^{2}+3\right)}{\left(n^{2}+3\right)\left(n+2\right)}\\  & = & \frac{\left(n^{4}+2n^{3}\right)-\left(n^{4}+3n^{2}\right)}{n^{3}+2n^{2}+3n+6}\\  & = & \frac{n^{4}+2n^{3}-n^{4}-3n^{2}}{n^{3}+2n^{2}+3n+6}\\  & = & \frac{\cancel{n^{4}}+2n^{3}\cancel{-n^{4}}-3n^{2}}{n^{3}+2n^{2}+3n+6}\\ & = & \frac{n^{4}+2n^{3}-n^{4}-3n^{2}}{n^{3}+2n^{2}+3n+6}\\  & = & \frac{2n^{3}-3n^{2}}{n^{3}+2n^{2}+3n+6} \end{eqnarray*}$$

,

แทนค่า $a_n= \frac{2n^{3}-3n^{2}}{n^{3}+2n^{2}+3n+6}$ แล้วหารด้วย $n^3$ ทั้งเศษและส่วน

$$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n} & = & \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2n^{3}-3n^{2}}{n^{3}+2n^{2}+3n+6}\\  & = & \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{2n^{3}-3n^{2}}{n^{3}}}{\frac{n^{3}+2n^{2}+3n+6}{n^{3}}}\\  & = & \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2-\frac{2}{n}}{1+\frac{2}{n}+\frac{3}{n^{2}}+\frac{6}{n^{3}}}\\ \end{eqnarray*}$$

กระจาย $\lim$ เข้าไปในแต่ละเทอมของเศษส่วนพหุนามเพื่อคำนวณลิมิตแยกเป็นรายเทอม

$$\begin{eqnarray*}  \lim_{n\rightarrow\infty}a_n & = & \frac{\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}2-\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2}{n}}{\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}1+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2}{n}+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3}{n^{2}}+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{6}{n^{3}}}\\  & = & \frac{\left(2\right)-\left(0\right)}{\left(1\right)+\left(0\right)+\left(0\right)+\left(0\right)}\\  & = & \frac{2}{1}\\  & = & 2 \end{eqnarray*}$$