ถ้า $x,y,z$ สอดคล้องกับสมการ

$$\begin{array}{ccccc}
x & +3y & -4z & = & a\\
x & -2y &  & = & b\\
3x & +5y & +3z & = & c
\end{array}$$

และ $\left[\begin{array}{cccc}
1 & 3 & -4 & a\\
1 & -2 & 0 & b\\
3 & 5 & 3 & c
\end{array}\right]\sim\left[\begin{array}{cccc}
1 & 3 & -4 & -10\\
0 & -5 & 4 & 13\\
0 & 0 & 1 & 2
\end{array}\right]$  แล้ว $c$ มีค่าเท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]เปลี่ยนเมทริกซ์กลับเป็นระบบสมการแล้วหาค่า $x,y,z$[/STEP]

จาก $\left[\begin{array}{cccc}
1 & 3 & -4 & a\\
1 & -2 & 0 & b\\
3 & 5 & 3 & c
\end{array}\right]\sim\left[\begin{array}{cccc}
1 & 3 & -4 & -10\\
0 & -5 & 4 & 13\\
0 & 0 & 1 & 2
\end{array}\right]$ แสดงว่า ระบบสมการที่โจทย์ให้มามีคำตอบชุดเดียวกับสมการที่จะได้จากการแปลงเมทริกซ์ด้านขวากลับไปเป็นระบบสมการ ซึ่งก็คือ

\begin{eqnarray*}
x+3y-4z & = & -10\quad\cdots(1)\\
-5y+4z & = & 13\quad\cdots(2)\\
z & = & 2\quad\cdots(3)
\end{eqnarray*}

แทนค่า $z=2$ ลงใน $(2)$

\begin{eqnarray*}
-5y+4\left(2\right) & = & 13\\
-5y+8 & = & 13\\
-5y & = & 13-8\\
-5y & = & 5\\
\frac{-5y}{-5} & = & \frac{5}{-5}\\
\frac{\cancel{-5}y}{\cancel{-5}} & = & \frac{\cancel{5}}{-\cancel{5}}\\
y & = & -1
\end{eqnarray*}

แทนค่า $y=-1$ และ $z=2$ ลงใน $(1)$

\begin{eqnarray*}
x+3\left(-1\right)-4\left(2\right) & = & -10\\
x-3-8 & = & -10\\
x-11 & = & -10\\
x & = & -10+11\\
x & = & 1
\end{eqnarray*}

ดังนั้น เราจะได้คำตอบของระบบสมการนี้ และระบบสมการที่โจทย์กำหนดให้เป็น $x=1$, $y=-1$ และ $z=2$ ซึ่งเป็นคำตอบชุดเดียวกัน

[STEP]คำนวณค่า $c$[/STEP]

แทนค่า $x,y,z$ ลงในสมการที่ $3$ ของระบบสมการที่โจทย์กำหนดให้ เพื่อหาค่า $c$

\begin{eqnarray*}
c & = & 3x+5y+3z\\
 & = & 3\left(1\right)+5\left(-1\right)+3\left(2\right)\\
 & = & 3-5+6\\
 & = & 4
\end{eqnarray*}

[ANS]$c=4$[/ANS]