ถ้า $\vec{u}=-3\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k}$  และ $\vec{v}\times \vec{w}=4\vec{i}+2\vec{j}+\vec{k}$  แล้วค่าของ $\left(\vec{v}\times\vec{u}\right)\cdot\vec{w}$  เท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]จัดรูป $(\vec{v}\times\vec{u})\cdot\vec{w}$ ให้ตรงกับข้อมูลที่มีอยู่[/STEP]

จากสมบัติการสลับที่การครอส $\vec{x}\times\vec{y}=-\vec{y}\times\vec{x}$
และการเปลี่ยนกลุ่มระหว่างการดอดและการครอส $\vec{x}\cdot\left(\vec{y}\times\vec{z}\right) = \left(\vec{x}\times\vec{y}\right)\cdot\vec{z}$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\left(\vec{v}\times\vec{u}\right)\cdot\vec{w} & = & \left(-\vec{u}\times\vec{v}\right)\cdot w\\
 & = & -\left[\left(\vec{u}\times\vec{v}\right)\cdot w\right]\\
 & = & -\left[\vec{u}\cdot\left(\vec{v}\times\vec{w}\right)\right]
\end{eqnarray*}

[STEP]คำนวณค่า $-\left[\vec{u}\cdot\left(\vec{v}\times\vec{w}\right)\right]$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\left(\vec{v}\times\vec{u}\right)\cdot\vec{w} & = & -\left[\vec{u}\cdot\left(\vec{v}\times\vec{w}\right)\right]\\
 & = & -\left[\left(-3\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k}\right)\cdot\left(4\vec{i}+2\vec{j}+\vec{k}\right)\right]\\
 & = & -\left[\left(-3\right)\left(4\right)+\left(1\right)\left(2\right)+\left(2\right)\left(1\right)\right]\\
 & = & -\left[-12+2+2\right]\\
 & = & -\left[-8\right]\\
 & = & 8
\end{eqnarray*}

[ANS]$\left(\vec{v}\times\vec{u}\right)\cdot\vec{w}=8$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การดอทเวกเตอร์ การครอสเวกเตอร์