กำหนดให้กราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $f$ เป็นดังรูป

นักเรียนคนหนึ่งสรุปได้ว่า $f$ ต้องเป็นดังข้อความต่อไปนี้

  1. $f(x)=-x$ เมื่อ $2<x<3$
  2. $f$ เป็นฟังก์ชันลด เมื่อ $0<x<2$
  3. $f$ มีจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ที่จุด $x=4$
  4. $f$ มีจุดสูงสุดสัมพัทธ์ที่จุด $x=1$

จำนวนข้อความที่นักเรียนคนนี้สรุปได้อย่างถูกต้อง เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]ระบุเครื่องหมายความชันของแต่ละช่วง[/STEP]

เนื่องจากกราฟที่โจทย์กำหนดให้เป็นกราฟของความชันของ $f$  ดังนั้น

  • เมื่อกราฟอยู่เหนือแกน $X$ หมายความว่า $f$ ความชันเป็นบวก
  • เมื่อกราฟอยู่ใต้แกน $X$ หมายความว่า $f$ ความชันเป็นลบ
  • เมื่อกราฟตัดแกน $X$ หมายความว่า $f$ ความชันเป็น $0$

ซึ่งทำให้เราทราบว่าระหว่าง $0<x<2$ นั้น $f$ ไม่ได้มีความชันเป็นลบอย่างเดียว $f$ จึงไม่ได้เป็นฟังก์ชันลดในช่วง $0<x<2$

ข้อความ $2.$ ผิด

[STEP]พิจารณาข้อความ $1.$[/STEP]

จากกราฟที่โจทย์กำหนดให้ ความชันของ $f(x)$ มีค่าเป็น $-1$ ในช่วง $2<x<3$ หรือ $f'(x)=-1$ นั่นเอง

เมื่ออินทิเกรท $f'(x)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & \int f'\left(x\right)dx\\
 & = & \int\left(-1\right)dx\\
 & = & -x+c
\end{eqnarray*}

ซึ่งเราทราบแต่เพียงว่ากราฟในช่วงนี้เป็นเส้นตรงบวกด้วยค่าคงตัว $c$ ซึ่ง $c$ อาจจะมีค่าเท่าใดก็ได้ เพราะโจทย์ไม่ได้กำหนดจุดเริ่มต้นมาให้ สังเกตุกราฟเส้นประสีส้ม ซึ่งกราฟของ $f(x)$ อาจจะเป็นเส้นใดในรูปก็ได้

ดังนั้นข้อความ $1.$ ผิด

[STEP]พิจารณาจุดสูงสุดและต่ำสุดสุมพัทธ์ใน $3.,4.$[/STEP]

จากข้อมูลความชันในช่วง $0<x<2$ ซึ่งความชันเปลี่ยนจาก $+$ ไปเป็น $0$ และไปเป็น $-$ แสดงให้เห็นว่า $f(x)$ มีจุดสูงสุดสัมพัทธ์ที่จุดที่มีความชันเป็น $0$ พอดี นั่น คือ $f$ มีจุดสูงสุดสัมพัทธ์ที่ $x=1$

ข้อความ $4.$ ถูกต้อง

ทำนองเดียวกัน ข้อมูลความชันในช่วง $3<x<5$ ความชันเปลี่ยนจาก $-$ ไปเป็น $0$ และไปเป็น $+$ แสดงให้เห็นว่า $f(x)$ มีจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ที่จุด $x=4$

ข้อความ $3.$ ถูกต้อง

[ANS]จำนวนข้อความที่นักเรียนคนนี้กล่าวได้ถูกต้องเท่ากับ $2$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การวาดกราฟโดยใช้อนุพันธ์ ความชันของเส้นโค้ง