กำหนดให้ $A=\left\{ 1,2,3,4,5,6\right\} $ และ

$$B=\left\{ p\left(x\right)\mid p\left(x\right)=ax^{2}-bx+c\text{ เมื่อ }a,b,c\in A\right\} $$

สุ่มหยิบ $p(x)$ มาจากเซต $B$ หนึ่งตัว  ความน่าจะเป็นที่จะได้ $p(x)$ ซึ่ง $\displaystyle\int_0^1p(x)dx$  มีค่าเป็นจำนวนเต็ม เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]คำนวณ $\displaystyle\int_0^1p(x)dx$ ในเทอม $a,b,c$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{1}p\left(x\right)dx & = & \int_{0}^{1}\left(ax^{2}-bx+c\right)dx\\
 & = & \left.\frac{a}{3}x^{3}-\frac{b}{2}x^{2}+cx\right|_{0}^{1}\\
 & = & \left(\frac{a}{3}\left(1\right)^{3}-\frac{b}{2}\left(1\right)^{2}+c\left(1\right)\right)-\left(\frac{a}{3}\left(0\right)^{3}-\frac{b}{2}\left(0\right)^{2}+c\left(0\right)\right)\\
 & = & \left(\frac{a}{3}-\frac{b}{2}+c\right)-0\\
 & = & \frac{a}{3}-\frac{b}{2}+c
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่า $p(x)$ ที่ทำให้ $\int_0^1p(x)dx$ เป็นจำนวนเต็มจะต้องมี $\frac{a}{3}-\frac{b}{2}+c$ เป็นจำนวนเต็ม

[STEP]พิจารณา $a,b,c\in A$ ซึ่งมี $\frac{a}{3}-\frac{b}{2}+c$ เป็นจำนวนเต็ม[/STEP]

$a,b,c\in A$ จะมี $\frac{a}{3}-\frac{b}{2}+c$ เป็นจำนวนเต็ม ก็ต่อเมื่อ $a\in\{3,6\}$ และ $b\in\{2,4,6\}$ เท่านั้น โดยที่ $c$ จะเป็นจำนวนใดก็ได้ใน $A$

ดังนั้นจำนวน $p(x)$ ที่ทำให้ $\int_0^1p(x)dx$ เป็นจำนวนเต็มเท่ากับ

$$\binom{2}{1}\times\binom{3}{1}\times\binom{6}{1} = 2\times3\times6 = 36$$

[STEP]นับจำนวน $p(x)$ ทั้งหมด และคำนวณความน่าจะเป็น[/STEP]

เนื่องจาก $a,b,c\in A$ จะได้ว่าแต่ละตัวแปร $a,b$ และ $c$ สามารถเลือกเป็นได้ $6$ จำนวน นั่นคือ

$$n(S)=\binom{6}{1}\times\binom{6}{1}\times\binom{6}{1}=6^3$$

จะได้ว่าความน่าจะเป็นที่จะได้ $p(x)$ ซึ่ง $\int_0^1p(x)dx$ เป็นจำนวนเต็ม เท่ากับ

\begin{eqnarray*}
P\left(E\right) & = & \frac{n\left(E\right)}{n\left(S\right)}\\
 & = & \frac{36}{6^{3}}\\
 & = & \frac{6^{2}}{6^{3}}\\
 & = & \frac{1}{6}\\
 & = & \frac{2}{12}
\end{eqnarray*}

[ANS]ความน่าจะเป็นที่จะได้ $\int_0^1p(x)dx$ เป็นจำนวนเต็มเท่ากับ $\frac16=\frac{2}{12}$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การหาปริพันธ์แบบมีขอบเขต ความน่าจะเป็น