กำหนดลำดับซึ่งประกอบด้วยจำนวนเต็มบวกทุกจำนวนที่หารด้วย $5$ ไม่ลงตัว  และเรียงจากน้อยไปหามาก  ถ้าผลบวก $m$ พจน์แรกของลำดับนี้เท่ากับ $9000$ แล้ว $m$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาเทอมแรกๆ ของลำดับนี้[/STEP]

จำนวนเต็มบวกที่หารด้วย $5$ ลงตัวได้แก่

$$5,10,15,20,25,\cdots$$

ดังนั้นจำนวนเต็มบวกที่หารด้วย $5$ ไม่ลงตัว คือ จำนวนเต็มบวกทั้งหมดยกเว้นจำนวนที่ปรากฏอยู่ด้านบน ซึ่งก็คือจำนวนดังต่อไปนี้

$$1,2,3,4,\quad6,7,8,9,\quad11,12,13,14,\quad16,17,18,19,\quad\cdots$$

ซึ่งจะเห็นว่าเป็นจำนวนเรียงติดกันเป็นชุด ชุดละ $4$ ตัว

[STEP]สร้างอนุกรมของผลรวมของทุกๆ $4$ เทอม[/STEP]

ให้ $S_{4n}$ แทนผลบวกของ $4n$ เทอมแรกของลำดับที่โจทย์กำหนดให้ จะได้

\begin{eqnarray*}
S_{4} & = & \left(1+2+3+4\right)\\
S_{8} & = & \left(1+2+3+4\right)+\left(6+7+8+9\right)\\
S_{12} & = & \left(1+2+3+4\right)+\left(6+7+8+9\right)+\left(11+12+13+14\right)\\
S_{4n} & = & \left(1+2+3+4\right)+\cdots+\left(\left(5n-4\right)+\left(5n-3\right)+\left(5n-2\right)+\left(5n-1\right)\right)\\
 & \vdots
\end{eqnarray*}

คำนวณรูปทั่วไปของ $S_{4n}$

\begin{eqnarray*}
S_{4n} & = & \left(1+2+3+4\right)+\cdots+\left(\left(5n-4\right)+\left(5n-3\right)+\left(5n-2\right)+\left(5n-1\right)\right)\\
 & = & \left(1+2+3+4+5+6+\cdots+5n\right)-\left(5+10+15+\cdots+5n\right)\\
 & = & \left(\sum_{k=1}^{5n}k\right)-\left(\sum_{k=1}^{n}5k\right)\\
 & = & \left(\sum_{k=1}^{5n}k\right)-5\left(\sum_{k=1}^{n}k\right)\\
 & = & \frac{5n\left(5n+1\right)}{2}-5\cdot\frac{n\left(n+1\right)}{2}\\
 & = & \frac{25n^{2}+5n}{2}-\frac{5n^{2}+5n}{2}\\
 & = & \frac{20n^{2}}{2}\\
 & = & 10n^{2}
\end{eqnarray*}

[STEP]คำนวณหา $n$ ซึ่งทำให้ $S_{4n}=9000$ และหาค่า $m$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
S_{4n} & = & 9000\\
10n^{2} & = & 9000\\
\frac{10n^{2}}{10} & = & \frac{9000}{10}\\
n^{2} & = & 900\\
n & = & 30
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
S_{4\left(30\right)} & = & 9000\\
S_{120} & = & 9000
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะได้ $m=120$

[ANS]$m$ มีค่าเท่ากับ $120$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การหารูปทั่วไปของลำดับ ซัมเมชั่น