กำหนดให้ $A=\left\{ -3,-2,-1,1,2,3\right\} $ และ 

$$B=\left\{ \left.\left[\begin{array}{ccc}
k_{1} & k_{2} & k_{3}\\
0 & k_{4} & k_{5}\\
0 & 0 & k_{6}
\end{array}\right]\right|k_{i}\in A,1\leq i\leq6\right\} $$

สุ่มหยิบเมทริกซ์จากเซต $B$ ออกมา $1$ เมทริกซ์ ความน่าจะเป็นที่จะได้เมทริกซ์ซึ่งมีค่าดีเทอร์มิแนนท์ของเมทริกซ์นั้นเท่ากับ $27$ หรือ $-27$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]คำนวณ $\det$ ของเมทริกซ์ใน $B$ ในเทอม $a_i$[/STEP]

เมทริกซ์ $M=\left[\begin{array}{ccc}
k_{1} & k_{2} & k_{3}\\
0 & k_{4} & k_{5}\\
0 & 0 & k_{6}
\end{array}\right]$ ซึ่งเป็นสมาชิกของ $B$ สามารถคำนวณดีเทอร์มินันท์ได้ง่ายๆ โดยใช้เทคนิคการคำนวณ $\det$ ของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน ซึ่งมีค่าเท่ากับผลคูณของตัวเลขในแนวทแยงมุมหลัก  นั่นคือ

$$\det\left[\begin{array}{ccc}
k_{1} & k_{2} & k_{3}\\
0 & k_{4} & k_{5}\\
0 & 0 & k_{6}
\end{array}\right]=k_{1}k_{4}k_{6}$$

[STEP]นับจำนวนเมทริกซ์ใน $B$ ซึ่งมี $\det$ เท่ากับ $\pm27$[/STEP]

จากขั้นตอนที่แล้ว เราทราบว่าเมทริกซ์ที่จะมี $\det$ เท่ากับ $\pm27$ จะต้องมี

$$k_1k_4k_6=\pm27$$

เพื่อให้มีผลคูณเป็น $\pm27$  ในบรรดา $k_1,k_4$ และ $k_6$ จะต้องเป็น $-3$ หรือ $3$ เท่านั้น ส่วนตัวแปรที่เหลือ คือ $k_2,k_3$ และ $k_5$ จะเป็นเลขอะไรก็ได้ใน $A$  ดังนั้น

ตัวแปร ค่าที่เลือกเป็นได้ จำนวนค่าที่เป็นไปได้
$k_1$ $-3,3$ $2$
$k_2$ $-3,-2,-1,1,2,3$ $6$
$k_3$ $-3,-2,-1,1,2,3$ $6$
$k_4$ $-3,3$ $2$
$k_5$ $-3,-2,-1,1,2,3$ $6$
$k_6$ $-3,3$ $2$

ซึ่งจะมีจำนวนเมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนท์เท่ากับ $27$ หรือ $-27$ เป็นจำนวน

\begin{eqnarray*}
\binom{2}{1}\times\binom{6}{1}\times\binom{6}{1}\times\binom{2}{1}\times\binom{6}{1}\times\binom{2}{1} & = & 2\times6\times6\times2\times6\times2\\
 & = & 2^{3}\times6^{3}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $n(E)=2^3\times 6^3$

[STEP]นับจำนวนเมทริกซ์ทั้งหมดใน $B$ และ $P(E)$[/STEP]

เนื่องจากแต่ละ $k_i$ สามารถเลือกเป็นตัวเลขใน $A$ ได้ทั้ง $6$ ตัว ดังนั้น

$$n(S)=\binom{6}{1}\times\binom{6}{1}\times\binom{6}{1}\times\binom{6}{1}\times\binom{6}{1}\times\binom{6}{1}=6^6$$

ซึ่งจะได้

\begin{eqnarray*}
P\left(E\right) & = & \frac{n(E)}{n(S)}\\
& = & \frac{2^{3}\times6^{3}}{6^{6}}\\
 & = & \frac{2^{3}\times\cancel{6^{3}}}{\cancelto{6^3}{6^{6}}}\\
 & = & \frac{2^{3}}{6^{3}}\\
 & = & \frac{8}{6^{3}}
\end{eqnarray*}

[ANS]ความน่าจะเป็นที่จะได้เมทริกซ์ดังกล่าวเท่ากับ $\frac{8}{6^3}$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ความน่าจะเป็น