กำหนดให้ $a_n=\frac{n}{2+4+6+\cdots+2n}$ และ $b_n=\frac{n}{1+3+5+\cdots+\left(2n-1\right)}$  จะได้ว่าอนุกรม $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(b_n-a_n\right)$ เป็นอนุกรมดังข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]คำนวณรูปอย่างง่ายของ $a_n$ และ $b_n$[/STEP]

ใช้สูตร $\sum$ คำนวณตัวส่วนของ $a_n$ 

\begin{eqnarray*}
2+4+6+\cdots+2n & = & 2\left(1+2+3+\cdots+n\right)\\
 & = & 2\left(\sum_{i=1}^{n}i\right)\\
 & = & 2\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)\\
 & = & \cancel{2}\left(\frac{n\left(n+1\right)}{\cancel{2}}\right)\\
 & = & n\left(n+1\right)
\end{eqnarray*}

แทนค่าเข้าไปใน $a_n$ ได้

\begin{eqnarray*}
a_{n} & = & \frac{n}{2+4+6+\cdots+2n}\\
 & = & \frac{n}{\left(n\left(n+1\right)\right)}\\
 & = & \frac{\cancel{n}}{\left(\cancel{n}\left(n+1\right)\right)}\\
 & = & \frac{1}{n+1}
\end{eqnarray*}

ทำนองเดียวกัน ใช้สูตร $\sum$ คำนวณตัวส่วนของ $b_n$

\begin{eqnarray*}
1+3+5+\cdots+\left(2n-1\right) & = & \sum_{i=1}^{n}\left(2i-1\right)\\
 & = & \sum_{i=1}^{n}2i-\sum_{i=1}^{n}1\\
 & = & 2\sum_{i=1}^{n}i-\sum_{i=1}^{n}1\\
 & = & 2\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)-\left(n\right)\\
 & = & \cancel{2}\left(\frac{n\left(n+1\right)}{\cancel{2}}\right)-\left(n\right)\\
 & = & n\left(n+1\right)-n\\
 & = & n\left(\left(n+1\right)-1\right)\\
 & = & n\left(n\right)\\
 & = & n^{2}
\end{eqnarray*}

แทนค่าส่วนนี้ลงไปใน $b_n$ ได้

\begin{eqnarray*}
b_{n} & = & \frac{n}{1+3+5+\cdots+\left(2n-1\right)}\\
 & = & \frac{n}{\left(n^{2}\right)}\\
 & = & \frac{\cancel{n}}{\left(\cancelto{n}{n^{2}}\right)}\\
 & = & \frac{1}{n}
\end{eqnarray*}

[STEP]คำนวณผลบวกย่อยของ $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(b_n-a_n)$[/STEP]

ผลบวกย่อย $S_n$ ของ $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(b_n-a_n)$ คือ 

\begin{eqnarray*}
S_{n} & = & {\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(b_{k}-a_{k}\right)}\\
 & = & \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\\
 & = & \left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\\
 & = & \left(\frac{1}{1}-\cancel{\frac{1}{2}}\right)+\left(\cancel{\frac{1}{2}}-\bcancel{\frac{1}{3}}\right)+\left(\bcancel{\frac{1}{3}}-\cancel{\frac{1}{4}}\right)+\cdots+\left(\cancel{\frac{1}{n}}-\frac{1}{n+1}\right)\\
 & = & \frac{1}{1}-\frac{1}{n+1}\\
 & = & 1-\frac{1}{n+1}
\end{eqnarray*}

[STEP]คำนวณผลบวกอนุกรมอนันต์ $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(b_n-a_n)$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\sum_{n=1}^{\infty}\left(b_{n}-a_{n}\right) & = & \lim_{n\rightarrow\infty}S_{n}\\
 & = & \lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\\
 & = & \lim_{n\rightarrow\infty}1-\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n+1}\\
 & = & \left(1\right)-\left(0\right)\\
 & = & 1
\end{eqnarray*}

[ANS]อนุกรมนี้มีผลบวกเท่ากับ $1$[/ANS]

 

 

ความรู้ที่ใช้ : ซัมเมชั่น อนุกรมเทเลสโคป