กำหนดให้ $g(x)$ เป็นฟังก์ชันซึ่งมีอนุพันธ์ที่ทุกจุด  และ 

$$f\left(x\right)=\begin{cases}
\frac{\left|x+2\right|}{4-x^{2}} & ;x<-2\\
g\left(x\right) & ;-2\leq x\leq3\\
\sqrt{2x+3} & ;x>3
\end{cases}$$

ถ้า $f$ ต่อเนื่องที่ทุกจุด แล้ว $\displaystyle\int_{-2}^3g'(x)dx$  มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาอินทิกรัลจำกัดเขต $\int_{-2}^3g'(x)dx$ ดูว่าที่จริงแล้วโจทย์ถามค่าอะไรบ้าง[/STEP]

จากสูตรอินทิกรัลแบบมีขอบเขต จะได้

$\int_{-2}^{3}g'\left(x\right)dx=g\left(3\right)-g\left(-2\right)$

แสดงว่าโจทย์ต้องการให้เราคำนวณ $g(3)$ และ $g(-2)$

[STEP]ใช้ความต่อเนื่องของ $f$ หาค่า $g(3)$[/STEP]

เนื่องจาก $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องทุกจุด ดังนั้น $f$ ต่อเนื่องที่จุด $x=3$ ด้วยเช่นกัน  ดังนั้น 

\begin{eqnarray*}
f\left(3\right) & = & \lim_{x\rightarrow3^{+}}f\left(x\right)\\
 & = & \lim_{x\rightarrow3^{+}}\sqrt{2x+3}\\
 & = & \sqrt{2\left(3\right)+3}\\
 & = & \sqrt{6+3}\\
 & = & \sqrt{9}\\
 & = & 3
\end{eqnarray*}

แต่ในขณะเดียวกัน $f(3)=g(3)$ ดังนั้น $g(3)=3$ ด้วยเช่นกัน

[STEP]ใช้ความต่อเนื่องของ $f$ หาค่า $g(-2)$[/STEP]

จาก $f$ ต่อเนื่องที่ทุกๆ จุด แสดงว่าต้องต่อเนื่องที่จุด $x=-2$ ด้วยเช่นกัน  ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
f\left(-2\right) & = & \lim_{x\rightarrow-2^{-}}f\left(x\right)\\
 & = & \lim_{x\rightarrow-2^{-}}\frac{\left|x+2\right|}{4-x^{2}}\\
 & = & \lim_{x\rightarrow-2^{-}}\frac{-\left(x+2\right)}{4-x^{2}}\\
 & = & \lim_{x\rightarrow-2^{-}}\frac{-\left(x+2\right)}{\left(2-x\right)\left(2+x\right)}\\
 & = & \lim_{x\rightarrow-2^{-}}\frac{-\cancel{\left(x+2\right)}}{\left(2-x\right)\cancel{\left(x+2\right)}}\\
 & = & \lim_{x\rightarrow-2^{-}}\frac{-1}{\left(2-x\right)}\\
 & = & \frac{-1}{\left(2-\left(-2\right)\right)}\\
 & = & \frac{-1}{2+2}\\
 & = & -\frac{1}{4}
\end{eqnarray*}

และทำนองเดียวกันกับขั้นตอนที่แล้ว คือ $f(-2)=g(-2)$ ดังนั้น $g(-2)=-\frac14$ ด้วยเช่นกัน

[STEP]แทนค่า $g(3)$ และ $g(-2)$ เพื่อคำนวณ $\int_{-2}^3g'(x)dx$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\int_{-2}^{3}g'\left(x\right)dx & = & g\left(3\right)-g\left(-2\right)\\
 & = & \left(3\right)-\left(-\frac{1}{4}\right)\\
 & = & 3+\frac{1}{4}\\
 & = & \frac{12}{4}+\frac{1}{4}\\
 & = & \frac{13}{4}
\end{eqnarray*}

 

[ANS]$\int_{-2}^3g'(x)dx=\frac{13}{4}$[/ANS]

 

ความรู้ที่ใช้ : ความต่อเนื่อง การหาปริพันธ์แบบมีขอบเขต ลิมิตติดค่าสัมบูรณ์