กำหนดให้ฟังก์ชัน $f(x)$ เป็นปฏิยานุพันธ์ของ $3x+4$  และความชันของเส้นโค้ง $y=g(x)$ ที่จุด $(x,y)$ ใดๆ คือ $3x^2$

ถ้ากราฟของฟังก์ชัน $f$ และ $g$ ตัดกันที่จุด $(1,2)$ แล้ว $\left(\frac{f}{g}\right)'(1)$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]เขียนสูตรคำนวณ $(f/g)'(1)$[/STEP]

จากสูตรดิฟผลหาร

\begin{eqnarray*}
\left(\frac{f}{g}\right)'\left(x\right) & = & \frac{d}{dx}\left(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right)\\
 & = & \frac{g\left(x\right)f'\left(x\right)-f\left(x\right)g'\left(x\right)}{\left[g\left(x\right)\right]^{2}}\\
\left(\frac{f}{g}\right)'\left(1\right) & = & \frac{g\left(1\right)f'\left(1\right)-f\left(1\right)g'\left(1\right)}{\left[g\left(1\right)\right]^{2}}
\end{eqnarray*}

จะได้ว่าเราต้องคำนวณค่าต่อไปนี้

  1. $f(1)$ และ $g(1)$
  2. $f'(1)$ และ $g'(1)$

[STEP]คำนวณค่าที่ต้องใช้ในการคำนวณ $(f/g)'(1)$[/STEP]

โจทย์กำหนดให้กราฟของ $f$ และ $g$ ตัดกันที่จุด $(1,2)$ แสดงว่าทั้งสองกราฟผ่านจุด $(1,2)$ นั่น คือ

$$f(1)=g(1)=2$$

เนื่องจาก $f(x)$ เป็นปฏิยานุพันธ์ของ $3x+4$ ดังนั้น $f(x)=\int \left(3x+4\right)dx$ ซึ่งแสดงว่า $f'(x)=3x+4$ ทำให้เราคำนวณ $f'(1)$ ได้

\begin{eqnarray*}
f'\left(1\right) & = & 3\left(1\right)+4\\
 & = & 3+4\\
 & = & 7
\end{eqnarray*}

จากที่โจทย์กำหนดให้ความชันที่จุด $(x,y)$ ใดๆ ของ $g(x)$ คือ $3x^2$ แสดงว่า $g'(x)=3x^2$ ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
g'\left(1\right) & = & 3\left(1\right)^{2}\\
 & = & 3\left(1\right)\\
 & = & 3
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $f(1)=2$, $g(1)=2$, $f'(1)=7$ และ $g'(1)=3$

[STEP]คำนวณ $(f/g)'(1)$ โดยแทนค่าลงไปในสูตรดิฟผลหาร[/STEP]

แทนค่า $f(1)=2$, $g(1)=2$, $f'(1)=7$ และ $g'(1)=3$ ลงในสูตรดิฟผลหารจากขั้นตอนแรก

\begin{eqnarray*}
\left(\frac{f}{g}\right)'\left(1\right) & = & \frac{g\left(1\right)f'\left(1\right)-f\left(1\right)g'\left(1\right)}{\left[g\left(1\right)\right]^{2}}\\
 & = & \frac{\left(2\right)\left(7\right)-\left(2\right)\left(3\right)}{\left[2\right]^{2}}\\
 & = & \frac{14-6}{4}\\
 & = & \frac{8}{4}\\
 & = & 2
\end{eqnarray*}

[ANS]$\left(\frac{f}{g}\right)'(1)=2$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ดิฟผลคูณและดิฟผลหาร ความชันของเส้นโค้ง