ข้อมูลชุดที่ $1$ คือ $x_1,x_2,x_3,\cdots,x_7$  โดยที่ $x_i=4-\frac{i}{2}$  ทุก $i$

ข้อมูลชุดที่ $2$ คือ $y_1,y_2,y_3,\cdots,y_7$  โดยที่ $y_j=\left|a-j\right|$ ทุก $j$

เมื่อ $a$ เป็นจำนวนจริงที่ทำให้ $\displaystyle\sum_{i=1}^7\left(x_i-a\right)^2$ มีค่าน้อยที่สุด

ถ้า $b$ เป็นจำนวนจริงที่ทำให้ $\displaystyle\sum_{j=1}^7\left|y_j-b\right|$ มีค่าน้อยที่สุด

แล้ว $b$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]คำนวณค่า $a$ จากค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ $x_i$[/STEP]

เนื่องจากจำนวนจริงที่ทำให้ $\displaystyle\sum_{i=1}^7\left(x_i-a\right)^2$ มีค่าน้อยที่สุด คือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ $x_1,x_2,x_3,\cdots,x_7$ ดังนั้น $a$ คือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ $x_1,x_2,x_3,\cdots,x_7$

คำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต $\bar{x}$ ของ $x_1,x_2,x_3,\cdots,x_7$ โดยแทนค่า $x_i=4-\frac{i}{2}$ ลงไป

\begin{eqnarray*}
\bar{x} & = & \frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots+x_{7}}{7}\\
 & = & \frac{{\displaystyle \sum_{i=1}^{7}x_{i}}}{7}\\
 & = & \frac{{\displaystyle \sum_{i=1}^{7}\left(4-\frac{i}{2}\right)}}{7}
\end{eqnarray*}

กระจายผลบวก $\sum$ แล้วใช้สูตร $\sum$ ช่วยในการคำนวณ

\begin{eqnarray*}
\bar{x} & = & \frac{{\displaystyle \sum_{i=1}^{7}4-\sum_{i=1}^{7}\frac{i}{2}}}{7}\\
 & = & \frac{4\left(7\right)-\frac{1}{2}{\displaystyle \sum_{i=1}^{7}i}}{7}\\
 & = & \frac{28-\frac{1}{2}\left(\frac{7\left(7+1\right)}{2}\right)}{7}\\
 & = & \frac{28-\frac{7\times\cancelto{2}{8}}{\cancel{2\times2}}}{7}\\
 & = & \frac{28-14}{7}\\
 & = & \frac{\cancelto{2}{14}}{\cancel{7}}\\
 & = & 2
\end{eqnarray*}

นั่นคือ $a=\bar{x}=2$

[STEP]คำนวณค่า $b$ จากมัธยฐานของ $y_j$[/STEP]

เนื่องจากจำนวนจริงที่ทำให้ $\displaystyle\sum_{i=1}^7\left|y_i-b\right|$ มีค่าน้อยที่สุด คือ มัธยฐานของ $y_1,y_2,y_3,\cdots,y_7$ ดังนั้น $b$ คือ มัธยฐานของ $y_1,y_2,y_3,\cdots,y_7$

แทนค่า $a=2$ เพื่อคำนวณ $y_{j}=\left|a-j\right|=\left|2-j\right|$ ทั้งหมด

\begin{eqnarray*}
y_{1} & = & \left|2-1\right|=1\\
y_{2} & = & \left|2-2\right|=0\\
y_{3} & = & \left|2-3\right|=1\\
y_{4} & = & \left|2-4\right|=2\\
y_{5} & = & \left|2-5\right|=3\\
y_{6} & = & \left|2-6\right|=4\\
y_{7} & = & \left|2-7\right|=5
\end{eqnarray*}

นำข้อมูล $y_j$ ทั้งหมดมาเรียงจากน้อยไปมาก เพื่อคำนวณมัธยฐาน ดังนี้

$$0,1,1,2,3,4,5$$

ซึ่งจะเห็นว่าตัวที่อยู่ตำแหน่งตรงกลาง (มัธยฐาน) คือ $2$

[ANS]$b=2$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ซัมเมชั่น มัธยฐาน