อายุการใช้งานพัดลมชนิดหนึ่งมีการแจกแจงปรกติ มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ $\mu$ ชั่วโมง  และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ $\sigma$ ชั่วโมง  ถ้า $k$ เป็นจำนวนจริงที่ทำให้พัดลมที่ใช้งานได้นานระหว่าง $\mu-k\sigma$ และ $\mu+k\sigma$ ชั่วโมง มีจำนวน $34\%$ แล้วพัดลมที่มีอายุการใช้งานได้นานระหว่าง $\mu-2k\sigma$ และ $\mu+2k\sigma$ ชั่วโมง  มีจำนวนคิดเป็นเปอร์เซ็นต์เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เมื่อกำหนดตารางแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปรกติดังนี้

$z$ $0.215$ $0.34$ $0.44$ $0.68$ $0.88$ $0.99$
พื้นที่ $0.085$ $0.133$ $0.17$ $0.25$ $0.31$ $0.34$
เฉลยละเอียด

[STEP]หาค่า $k$[/STEP]

จำนวนพัดลมที่มีอายุการใช้งานอยู่ในช่วง $\mu-k\sigma$ ถึง $\mu+k\sigma$ มี $34\%$  เมื่อนำอายุการใช้งาน $\mu+k\sigma$ มาคำนวณค่ามาตรฐาน $z_{k}$ จะได้

\begin{eqnarray*}
z_{k} & = & \frac{\left(\mu+k\sigma\right)-\mu}{\sigma}\\
 & = & \frac{\cancel{\mu}+k\sigma-\cancel{\mu}}{\sigma}\\
 & = & \frac{k\sigma}{\sigma}\\
 & = & k
\end{eqnarray*}

ทำนองเดียวกัน ค่า $z_{-k}$ ของ $\mu-k\sigma$ จะมีค่าเท่ากับ $z_{-k} = -k$

เมื่อนำพื้นที่จาก $z=-k$ ถึง $z=k$ มาหารด้วย $2$ เพื่อให้ได้พื้นที่ด้านขวาของกราฟระฆังคว่ำ จะได้พื้นที่เท่ากับ $17\%$ หรือเท่ากับ $0.17$ ซึ่งตรงกับ $z=0.44$ ในตาราง

$z$ $0.215$ $0.34$ $0.44$ $0.68$ $0.88$ $0.99$
พื้นที่ $0.085$ $0.133$ $0.17$ $0.25$ $0.31$ $0.34$

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า $k=0.44$

[STEP]คำนวณพื้นที่ระหว่าง $\mu-2k\sigma$ ถึง $\mu+2k\sigma$[/STEP]

แทนค่า $k=0.44$ แล้วคำนวณค่ามาตรฐาน $z_{2k}$ ของ $\mu+2k\sigma$

\begin{eqnarray*}
z_{2k} & = & \frac{\left(\mu+2k\sigma\right)-\mu}{\sigma}\\
 & = & \frac{\left(\mu+2\left(0.44\right)\sigma\right)-\mu}{\sigma}\\
 & = & \frac{\cancel{\mu}+0.88\sigma-\cancel{\mu}}{\sigma}\\
 & = & \frac{0.88\bcancel{\sigma}}{\bcancel{\sigma}}\\
 & = & 0.88
\end{eqnarray*}

ทำนองเดียวกัน เมื่อคำนวณค่า $z_{-2k}$ ของ $\mu-2k\sigma$ จะได้ $z_{-2k}=-0.88$

เพื่อที่จะคำนวณพื้นที่ระหว่าง $z=-0.88$ ถึง $z=0.88$ เราจะต้องอ่านค่าในตารางเพื่อหาพื้นที่ตั้งแต่ $z=0$ ไปจนถึง $z=0.88$ เสียก่อน

$z$ $0.215$ $0.34$ $0.44$ $0.68$ $0.88$ $0.99$
พื้นที่ $0.085$ $0.133$ $0.17$ $0.25$ $0.31$ $0.34$

จะเห็นว่าพื้นที่ด้านขวาอย่างเดียวมีอยู่ $31\%$ ดังนั้นพื้นที่ $2$ ด้านตั้งแต่ $\mu-2k\sigma$ ถึง $\mu+2k\sigma$ มีค่าเป็นสองเท่า คือ $62\%$

[ANS]พัดลมที่ใช้งานได้ระหว่าง $\mu-2k\sigma$ ถึง $\mu+2k\sigma$ ชั่วโมงมีจำนวนคิดเป็น $62$ เปอร์เซ็นต์[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ค่ามาตรฐาน