นักเรียนห้องหนึ่งมีจำนวน $30$ คน สอบวิชาคณิตศาสตร์ได้เกรด $A$ จำนวน $5$ คน  ได้เกรด $B$ จำนวน $13$ คน และได้เกรด $C$ จำนวน $12$ คน  ถ้าสุ่มนักเรียน $3$ คนจากห้องนี้แล้ว  ความน่าจะเป็นที่จะได้นักเรียนอย่างน้อย $1$ คนที่ได้เกรด $A$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]นับกรณีนิเสธ[/STEP]

นิเสธของเหตุการณ์ "นักเรียนอย่างน้อย $1$ คนได้เกรด $A$" คือ "ไม่มีนักเรียนคนใดได้เกรด $A$"

ซึ่งมีค่าเท่ากับจำนวนวิธีการเลือกนักเรียน $3$ คนจากนักเรียนที่ได้เกรด $B$ และ $C$ รวมกัน ซึ่งมีทั้งหมด $12+13=25$ คน

\begin{eqnarray*}
n\left(E'\right) & = & \binom{25}{3}\\
 & = & \frac{25!}{\left(25-3\right)!3!}\\
 & = & \frac{25!}{22!3!}\\
 & = & \frac{25\times24\times23\times22!}{22!\left(3\times2\times1\right)}\\
 & = & \frac{25\times24\times23\times\cancel{22!}}{\cancel{22!}\left(3\times2\times1\right)}\\
 & = & \frac{25\times24\times23}{3\times2\times1}
\end{eqnarray*}

ให้ติดตัวเลขไว้แบบนี้โดยไม่ต้องคำนวณ

[STEP]นับจำนวนวิธีในการเลือกนักเรียน $3$ คนจากทั้งหมด $30$ คน[/STEP]

\begin{eqnarray*}
n\left(S\right) & = & \binom{30}{3}\\
 & = & \frac{30!}{\left(30-3\right)!3!}\\
 & = & \frac{30!}{27!3!}\\
 & = & \frac{30\times29\times28\times27!}{27!\left(3\times2\times1\right)}\\
 & = & \frac{30\times29\times28\times\cancel{27!}}{\cancel{27!}\left(3\times2\times1\right)}\\
 & = & \frac{30\times29\times28}{3\times2\times1}
\end{eqnarray*}

เช่นเดียวกับขั้นตอนที่แล้ว คือติดตัวเลขไว้แบบนี้ แล้วค่อยนำไปคำนวณตอนหาความน่าจะเป็น

[STEP]คำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์[/STEP]

\begin{eqnarray*}
P\left(E\right) & = & 1-P\left(E'\right)\\
 & = & 1-\frac{n\left(E'\right)}{n\left(S\right)}\\
 & = & 1-\frac{\frac{25\times24\times23}{3\times2\times1}}{\frac{30\times29\times28}{3\times2\times1}}\\
 & = & 1-\frac{25\times24\times23}{\cancel{3\times2\times1}}\times\frac{\cancel{3\times2\times1}}{30\times29\times28}\\
 & = & 1-\frac{\cancelto{5}{25}\times\cancelto{6}{24}\times23}{\cancelto{6}{30}\times29\times\cancelto{7}{28}}\\
 & = & 1-\frac{5\times6\times23}{6\times29\times7}\\ 
 & = & 1-\frac{5\times\bcancel{6}\times23}{\bcancel{6}\times29\times7}\\
 & = & 1-\frac{5\times23}{29\times7}
\end{eqnarray*}

คำนวณผลคูณ ปรับส่วนให้เท่ากัน แล้วรวมเศษส่วนเข้าด้วยกัน

\begin{eqnarray*}
P(E) & = & 1-\frac{115}{203}\\
 & = & \frac{203}{203}-\frac{115}{203}\\
 & = & \frac{203-115}{203}\\
 & = & \frac{88}{203}
\end{eqnarray*}

[ANS]ความน่าจะเป็นเท่ากับ $\frac{88}{203}$[/ANS]

 

 

 

ความรู้ที่ใช้ : การนับนิเสธ ความน่าจะเป็น