,

นิเสธของเหตุการณ์ "นักเรียนอย่างน้อย $1$ คนได้เกรด $A$" คือ "ไม่มีนักเรียนคนใดได้เกรด $A$"

ซึ่งมีค่าเท่ากับจำนวนวิธีการเลือกนักเรียน $3$ คนจากนักเรียนที่ได้เกรด $B$ และ $C$ รวมกัน ซึ่งมีทั้งหมด $12+13=25$ คน

$$\begin{eqnarray*} n\left(E'\right) & = & \binom{25}{3}\\  & = & \frac{25!}{\left(25-3\right)!3!}\\  & = & \frac{25!}{22!3!}\\  & = & \frac{25\times24\times23\times22!}{22!\left(3\times2\times1\right)}\\  & = & \frac{25\times24\times23\times\cancel{22!}}{\cancel{22!}\left(3\times2\times1\right)}\\  & = & \frac{25\times24\times23}{3\times2\times1} \end{eqnarray*}$$

ให้ติดตัวเลขไว้แบบนี้โดยไม่ต้องคำนวณ

,

$$\begin{eqnarray*} n\left(S\right) & = & \binom{30}{3}\\  & = & \frac{30!}{\left(30-3\right)!3!}\\  & = & \frac{30!}{27!3!}\\  & = & \frac{30\times29\times28\times27!}{27!\left(3\times2\times1\right)}\\  & = & \frac{30\times29\times28\times\cancel{27!}}{\cancel{27!}\left(3\times2\times1\right)}\\  & = & \frac{30\times29\times28}{3\times2\times1} \end{eqnarray*}$$

เช่นเดียวกับขั้นตอนที่แล้ว คือติดตัวเลขไว้แบบนี้ แล้วค่อยนำไปคำนวณตอนหาความน่าจะเป็น

,

$$\begin{eqnarray*} P\left(E\right) & = & 1-P\left(E'\right)\\  & = & 1-\frac{n\left(E'\right)}{n\left(S\right)}\\  & = & 1-\frac{\frac{25\times24\times23}{3\times2\times1}}{\frac{30\times29\times28}{3\times2\times1}}\\  & = & 1-\frac{25\times24\times23}{\cancel{3\times2\times1}}\times\frac{\cancel{3\times2\times1}}{30\times29\times28}\\  & = & 1-\frac{\cancelto{5}{25}\times\cancelto{6}{24}\times23}{\cancelto{6}{30}\times29\times\cancelto{7}{28}}\\  & = & 1-\frac{5\times6\times23}{6\times29\times7}\\   & = & 1-\frac{5\times\bcancel{6}\times23}{\bcancel{6}\times29\times7}\\  & = & 1-\frac{5\times23}{29\times7} \end{eqnarray*}$$

คำนวณผลคูณ ปรับส่วนให้เท่ากัน แล้วรวมเศษส่วนเข้าด้วยกัน

$$\begin{eqnarray*} P(E) & = & 1-\frac{115}{203}\\  & = & \frac{203}{203}-\frac{115}{203}\\  & = & \frac{203-115}{203}\\  & = & \frac{88}{203} \end{eqnarray*}$$