กำหนดให้ $P(x)=3x^3+ax^2+bx+18$  เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง  ถ้า $3i$ เป็นคำตอบของสมการ $P(x)=0$  แล้ว $P(1)$ มีค่าเท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]สร้างสมการพหุนาม $P(x)$[/STEP]

เนื่องจาก $P(x)=0$ เป็นสมการพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง จะได้ว่า $-3i$ ซึ่งเป็นคอนจูเกทของ $3i$ ต้องเป็นคำตอบของ $P(x)=0$ ด้วย

ดังนั้น $x-3i$ และ $x-(-3i)$ จึงต้องเป็นตัวประกอบของ $P(x)$

นำตัวประกอบของทั้งสองมาคูณกันได้

\begin{eqnarray*}
(x-3i)\left(x-(-3i)\right) &=& (x-3i)(x+3i)\\
& = & x^2 -3ix +3ix -9i^2\\
& = & x^2 -9(-1)\\
& = & x^2 +9
\end{eqnarray*}

นั่นคือ $x^2+9$ ต้องเป็นตัวประกอบของ $P(x)=3x^3+ax^2+bx+18$

เนื่องจาก $P(x)$ มีกำลังสูงสุดเท่ากับ $3$ และตัวประกอบ $x^2+9$ มีกำลังสูงสุดเท่ากับ $2$ ดังนั้น

$$3x^3+ax^2+bx+18 = \left(x^2+9\right)(kx+h)$$

เมื่อ $k,h$ เป็นจำนวนจริง

หากเรากระจายเทอมด้านขวาของสมการด้านบนเพื่อหาสัมประสิทธิ์ของ $x^3$ และสัมประสิทธิ์ของเทอมที่ไม่ติดตัวแปร $x$ จะได้

$$3x^3+ax^2+bx+18 = kx^3 + \cdots +9h$$

ดังนั้น $3=k$ และ $18=9h$ ซึ่งจะได้ว่า $h=2$ เราจึงทราบว่าพหุนาม $P(x)$ คือ

$$P(x) = \left(x^2+9\right)(2x+3)$$

[STEP]คำนวณ $P(1)$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
P(1) &=& \left((1)^2+9\right)\left(2(1)+3\right)\\
&=& (10)(5)\\
&=& 50
\end{eqnarray*}

[ANS]$P(1)=50$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : เทคนิคการสร้างพหุนามให้มีรากตามที่กำหนดให้