ผลบวกของคำตอบทั้งหมดของสมการ $4^x+2^3=129\left(2^{x-2}\right)$  เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]เปลี่ยนตัวแปรเพื่อให้แก้สมการได้ง่ายขึ้น[/STEP]

กำหนดให้ $a=2^x$ 

เปลี่ยนสมการ $4^x+2^3=129\left(2^{x-2}\right)$ ให้อยู่ในรูปตัวแปร $a$ ทั้งหมด

\begin{eqnarray*}
4^{x}+2^{3} & = & 129\left(2^{x-2}\right)\\
\left(2^{2}\right)^{x}+2^{3} & = & 129\left(2^{x}\cdot2^{-2}\right)\\
2^{2x}+2^{3} & = & 129\left(2^{x}\cdot\frac{1}{2^{2}}\right)\\
\left(2^{x}\right)^{2}+2^{3} & = & 129\left(2^{x}\cdot\frac{1}{4}\right)\\
a^{2}+2^{3} & = & 129\left(a\cdot\frac{1}{4}\right)
\end{eqnarray*}

คูณตลอดด้วย $4$ แล้วย้ายทุกเทอมไปด้านเดียวกันของสมการ แล้วแยกตัวประกอบเป็นสองวงเล็บ

\begin{eqnarray*}
4\cdot a^{2}+4\cdot2^{3} & = & 4\cdot129\left(a\cdot\frac{1}{4}\right)\\
4a^{2}+4\cdot8 & = & \bcancel{4}\cdot129\left(a\cdot\frac{1}{\bcancel{4}}\right)\\
4a^{2}+32 & = & 129a\\
4a^{2}-129a+32 & = & 0\\
\left(4a-1\right)\left(a-32\right) & = & 0
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะได้ $a=\frac14$ หรือ $a=32$

[STEP]แทนค่าตัวแปรกลับไปเพื่อหาค่า $x$[/STEP]

จาก $a=\frac14$ แทนค่า $a=2^x$ ได้

\begin{eqnarray*}
a & = & \frac{1}{4}\\
2^{x} & = & \frac{1}{4}\\
2^{x} & = & \frac{1}{2^{2}}\\
2^{x} & = & 2^{-2}\\
x & = & -2
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $x=-2$ เป็นคำตอบหนึ่งของสมการที่โจทย์ถาม

จาก $a=32$ แทนค่า $a=2^x$

\begin{eqnarray*}
a & = & 32\\
2^{x} & = & 32\\
2^{x} & = & 2^{5}\\
x & = & 5
\end{eqnarray*}

จะได้ $x=5$ เป็นอีกคำตอบของสมการนี้

[STEP]คำนวณผลรวมคำตอบของสมการ[/STEP]

นำคำตอบทั้งสอง คือ $x=-2$ และ $x=5$ มาบวกกันได้

$$-2+5=3$$

[ANS]ผลรวมคำตอบทั้งหมดของสมการนี้เท่ากับ $3$[/ANS]

 

ความรู้ที่ใช้ : การแก้สมการเอกซ์โพเนนเชียล