ผลบวกของคำตอบทั้งหมดของสมการ $\left|x^2-5x+5\right|^{(x+5)}=1$  เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]แบ่งกรณีในการแก้สมการหาคำตอบ[/STEP]

แบ่งการแก้สมการ $\left|x^2-5x+5\right|^{(x+5)}=1$ เป็นสองกรณี คือ

  1. กรณีที่ฐานของเลขยกกำลังเป็นเลข $1$ $$1^{\triangle},\quad\triangle\text{ เป็นอะไรก็ได้}$$ กรณีนี้จะต้องแก้สมการ $\left|x^5-5x+5\right|=1$
  2. กรณีที่ฐานไม่เป็นศูนย์และเลขยกกำลังเป็นศูนย์ $$\triangle^{0},\quad\triangle\neq0$$ กรณีนี้ต้องแก้สมการ $(x+5)=0$ เมื่อ $\left|x^2-5x+5\right|\neq0$
  3. กรณีที่ฐานเป็น $-1$ และเลขยกกำลังเป็นเลขคู่ $$(-1)^{\triangle},\quad\triangle\text{ เป็นเลขคู่}$$ ซึ่งกรณีนี้เป็นไปไม่ได้เพราะฐาน $\left|x^2-5x+5\right|$ ติดค่าสัมบูรณ์ซึ่งไม่มีทางเป็นลบได้

[STEP]แก้สมการกรณี $\left|x^2-5x+5\right|=1$[/STEP]

แบ่งเป็น $2$ กรณีย่อย คือ $x^2-5x+5 = 1$ และ $x^2-5x+5=-1$

เริ่มจากกรณีแรก $x^2-5x+5=1$

\begin{eqnarray*}
x^{2}-5x+5 & = & 1\\
x^{2}-5x+5-1 & = & 1-1\\
x^{2}-5x+4 & = & 0\\
\left(x-4\right)\left(x-1\right) & = & 0
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะได้ $x=4$ หรือ $x=1$

แก้สมการกรณีย่อย $x^2-5x+5=-1$

\begin{eqnarray*}
x^{2}-5x+5 & = & -1\\
x^{2}-5x+5+1 & = & -1+1\\
x^{2}-5x+6 & = & 0\\
\left(x-2\right)\left(x-3\right) & = & 0
\end{eqnarray*}

จะได้ $x=2$ หรือ $x=3$

ดังนั้นกรณี $\left|x^2-5x+5\right|=1$ จะได้คำตอบทั้งหมดดังนี้ $x=1,2,3$ และ $x=4$

[STEP]แก้สมการกรณี $(x+5)=0$ เมื่อ $\left|x^2-5x+5\right|\neq0$[/STEP]

จาก $(x+5)=0$ จะได้ $x=-5$ ซึ่งเมื่อแทนค่าลงใน  $\left|x^2-5x+5\right|$ แล้วจะได้

\begin{eqnarray*}
\left|\left(-5\right)^{2}-5\left(-5\right)+5\right| & = & \left|25+25+5\right|\\
 & = & \left|55\right|\\
 & = & 55
\end{eqnarray*}

ซึ่งมีค่าไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้น $x=-5$ เป็นอีกคำตอบของสมการกรณีนี้

[STEP]คำนวณผลรวมคำตอบของสมการ[/STEP]

นำคำตอบจากทั้งสองกรณี คือ $x=1,2,3,4$ และ $x=-5$ มาบวกกัน

$$\left(1+2+3+4\right)+\left(-5\right)=5$$

[ANS]ผลรวมคำตอบทั้งหมดของสมการนี้เท่ากับ $5$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การแก้สมการเอกซ์โพเนนเชียล การแก้สมการและอสมการติดค่าสัมบูรณ์โดยการแบ่งกรณี