กำหนดให้ $A,B$ และ $C$ เป็นจุดบนระนาบพิกัดฉากใน $3$ มิติ  พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก)  $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\vec{0}$

(ข)  $\left|\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\right|\leq \left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{AC}\right|$

(ค)  $\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CB}$

(ง)  $\left(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{BC}\right)\cdot \overrightarrow{CA}=\left(\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{CA}\right)\cdot\overrightarrow{AB}$

จำนวนข้อความที่ถูกต้องเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]วาดภาพการบวกกันของเวกเตอร์ข้อ (ก)[/STEP]

เมื่อวาดภาพการบวกกันของเวกเตอร์ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}$

จะเห็นได้ชัดว่าผลรวมไม่ว่าเริ่มจากจุดใดจะกลับมาที่จุดเดิม นั่นหมายความว่าผลรวมของเวกเตอร์ทั้งสามมีค่าเท่ากับเวกเตอร์ $\vec{0}$

[ANS](ก) ถูกต้อง[/ANS]

[STEP]ใช้สูตรผลดอทกับขนาดตรวจสอบ (ข)[/STEP]

จากสูตร $\vec{u}\cdot \vec{v} = \left|\vec{u}\right|\left|\vec{v}\right|\cos\theta$  โดยที่ $\theta$ เป็นมุมระหว่าง $\vec{u}$ กับ $\vec{v}$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} & = & \left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{AC}\right|\cos\theta\\
\left|\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\right| & = & \left|\left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{AC}\right|\cos\theta\right|\\
 & = & \left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{AC}\right|\left|\cos\theta\right|\\
 & \leq & \left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{AC}\right|\left(1\right)\\
 & = & \left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{AC}\right|
\end{eqnarray*}

โดยใช้ความรู้ที่ว่า $\left|\cos \theta\right|\leq 1$ ไม่ว่า $\theta$ จะเป็นมุมเท่าใดก็ตาม ดังนั้น

$$\left|\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\right|\leq\left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{AC}\right|$$

[ANS](ข) ถูกต้อง[/ANS]

[STEP]จัดรูปเวกเตอร์ทั้งสองข้างของ (ค) ให้ตรงกันมากที่สุด[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{CA} & = & -\left(\overrightarrow{CA}\times\overrightarrow{BC}\right)\\
 & = & -\left(\left(-\overrightarrow{AC}\right)\times\left(-\overrightarrow{CB}\right)\right)\\
 & = & -\left(-1\right)\left(-1\right)\left(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{CB}\right)\\
 & = & -\left(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{CB}\right)
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่า $-\left(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{CB}\right)$ กับ $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CB}$ ไม่จำเป็นต้องเท่ากันเสมอไป  

ดังนั้นข้อความ $\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CB}$ จึงไม่ถูต้อง

[ANS](ค) ไม่ถูกต้อง[/ANS]

[STEP]จัดรูปทั้งสองข้างของ (ง) ให้ตรงกันมากที่สุด[/STEP]

โดยใช้กฏการเปลี่ยนกลุ่มการครอสกับการดอท และการสลับที่การดอท จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
\left(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{BC}\right)\cdot\overrightarrow{CA} & = & \overrightarrow{AB}\cdot\left(\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{CA}\right)\\
 & = & \left(\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{CA}\right)\cdot\overrightarrow{AB}
\end{eqnarray*}

[ANS](ง) ถูกต้อง [/ANS]

กฏการสลับที่การดอท
การดอทสลับที่ได้มีค่าเท่ากัน

$$\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{u}$$

กฏการสลับที่การครอส 
การครอสสลับที่แล้วจะมีทิศตรงกันข้ามกับของเก่า

$$\vec{u}\times\vec{v} = -\vec{v}\times\vec{u}$$

กฏการเปลี่ยนกลุ่มการครอสกับการดอท 

$$\vec{u}\cdot\left(\vec{v}\times\vec{w}\right) = \left(\vec{u}\times\vec{v}\right)\cdot\vec{w}$$

ความรู้ที่ใช้ : สูตรขนาดและมุมระหว่างเวกเตอร์กับการดอท การครอสเวกเตอร์