,

เมื่อวาดภาพการบวกกันของเวกเตอร์ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}$

จะเห็นได้ชัดว่าผลรวมไม่ว่าเริ่มจากจุดใดจะกลับมาที่จุดเดิม นั่นหมายความว่าผลรวมของเวกเตอร์ทั้งสามมีค่าเท่ากับเวกเตอร์ $\vec{0}$

,

จากสูตร $\vec{u}\cdot \vec{v} = \left|\vec{u}\right|\left|\vec{v}\right|\cos\theta$  โดยที่ $\theta$ เป็นมุมระหว่าง $\vec{u}$ กับ $\vec{v}$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} & = & \left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{AC}\right|\cos\theta\\
\left|\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\right| & = & \left|\left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{AC}\right|\cos\theta\right|\\
 & = & \left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{AC}\right|\left|\cos\theta\right|\\
 & \leq & \left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{AC}\right|\left(1\right)\\
 & = & \left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{AC}\right|
\end{eqnarray*}

โดยใช้ความรู้ที่ว่า $\left|\cos \theta\right|\leq 1$ ไม่ว่า $\theta$ จะเป็นมุมเท่าใดก็ตาม ดังนั้น

$$\left|\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\right|\leq\left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{AC}\right|$$

,

\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{CA} & = & -\left(\overrightarrow{CA}\times\overrightarrow{BC}\right)\\
 & = & -\left(\left(-\overrightarrow{AC}\right)\times\left(-\overrightarrow{CB}\right)\right)\\
 & = & -\left(-1\right)\left(-1\right)\left(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{CB}\right)\\
 & = & -\left(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{CB}\right)
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่า $-\left(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{CB}\right)$ กับ $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CB}$ ไม่จำเป็นต้องเท่ากันเสมอไป  

ดังนั้นข้อความ $\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CB}$ จึงไม่ถูต้อง

,

โดยใช้กฏการเปลี่ยนกลุ่มการครอสกับการดอท และการสลับที่การดอท จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
\left(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{BC}\right)\cdot\overrightarrow{CA} & = & \overrightarrow{AB}\cdot\left(\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{CA}\right)\\
 & = & \left(\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{CA}\right)\cdot\overrightarrow{AB}
\end{eqnarray*}