ในระบบพิกัดฉากที่มี $O$ เป็นจุดกำเนิด  วงรีรูปหนึ่งมีสมการเป็น $\frac{(x-5)^2}{25}+\frac{(y-3)^2}{9}=1$  ถ้า $F_1$ และ $F_2$ เป็นจุดโฟกัสของวงรีรูปนี้  โดยที่ $OF_1 > OF_2$ แล้วระยะทางจากจุด $F_2$ ไปยังเส้นตรงที่ผ่านจุด $F_1$ กับ $(5,0)$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]หาจุดโฟกัส $F_1$ และ $F_2$[/STEP]

จากสมการวงรี $\frac{(x-5)^2}{25}+\frac{(y-3)^2}{9}=1$ จะได้ว่าวงรีรูปนี้มีจุดศูนย์กลางเป็น $(5,3)$ และเป็นวงรีแนวนอนเพราะว่ามีตัวเลขใต้ตัวแปร $x$ มากกว่าใต้ตัวแปร $y$ โดยมีรายละเอียดดังนี้

\begin{eqnarray*}
\frac{(x-5)^2}{25}+\frac{(y-3)^2}{9} &=&1\\
\frac{(x-5)^2}{5^2}+\frac{(y-3)^2}{3^2} & =&1 
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะได้ $a=5$, $b=3$ จากนั้นนำมาคำนวณค่า $c$

\begin{eqnarray*}
c^{2} & = & a^{2}-b^{2}\\
 & = & 5^{2}-3^{2}\\
 & = & 25-9\\
 & = & 16\\
c & = & \sqrt{16}\\
 & = & 4
\end{eqnarray*}

ทำให้ทราบว่าจุดโฟกัสของวงรีห่างจากจุดศูนย์กลางเป็นระยะทาง $4$ หน่วยไปทางซ้ายและขวาของจุดศูนย์กลาง นั่น คือ $(5-4,3)=(1,3)$ และ $(5+4,3)=(9,3)$

เนื่องจาก $OF_1>OF_2$ แสดงว่า $F_1$ ห่างจากจุดศูนย์กลางมากกว่า $F_2$ ดังนั้น $F_1=(9,3)$ และ $F_2=(1,3)$

[STEP]สร้างสมการเส้นตรงผ่านจุด $F_1$ และ $(5,0)$[/STEP]

คำนวณความชันระหว่าง $F_1(9,3)$ กับ $(5,0)$

$$m=\frac{3-0}{9-5}=\frac34$$

สร้างสมการเส้นตรงผ่านจุด $(5,0)$ ที่มีความชัน $m=\frac34$ 

\begin{eqnarray*}
y-y_1 & = & m(x-x_1)\\
y-0 &=& \left(\frac34\right)\left(x-5\right)\\
y &=& \frac34\left(x-5\right)\\
4y &=& \cancel{4}\left(\frac{3}{\cancel{4}}\right)\left(x-5\right)\\
4y &=& 3\left(x-5\right)\\
4y &=& 3x-15\\
4y-3x+15 &=& 0
\end{eqnarray*}

[STEP]คำนวณระยะทางจาก $F_2$ ไปยังเส้นตรง[/STEP]

ระยะทางจากจุด $F_2(1,3)$ ไปยังเส้นตรง $4y-3x+15=0$ เท่ากับ

\begin{eqnarray*}
d & = & \frac{\left|4\left(3\right)-3\left(1\right)+15\right|}{\sqrt{\left(-3\right)^{2}+4^{2}}}\\
 & = & \frac{\left|12-3+15\right|}{\sqrt{9+16}}\\
 & = & \frac{\left|24\right|}{\sqrt{25}}\\
 & = & \frac{24}{5}
\end{eqnarray*}

[ANS]ระยะทางดังกล่าวเท่ากับ $\frac{24}{5}$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ระยะทางของจุดกับเส้นตรง การสร้างสมการวงรี การสร้างสมการเส้นตรง