กำหนดให้ $P(x)$ เป็นพหุนามดีกรี $4$ ซึ่งมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงและสัมประสิทธิ์ของ $x^4$ เท่ากับ $1$  ถ้า $z_1$ และ $z_2$ เป็นรากที่สองของ $-2i$  และเป็นคำตอบของสมการ $P(x)=0$  ด้วย  แล้ว $P(1)$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]คำนวณรากที่สองของ $-2i$[/STEP]

ถอดรากที่สองของ $-2i$ โดยใช้วิธีการเปลี่ยนให้อยู่ในรูปเชิงขั้ว $r\left(\cos\theta +i\sin\theta\right)$

\begin{eqnarray*}
r & = & \left|-2i\right|\\
 & = & \sqrt{0^{2}+\left(-2\right)^{2}}\\
 & = & \sqrt{\left(0\right)+\left(4\right)}\\
 & = & \sqrt{4}\\
 & = & 2
\end{eqnarray*}

และเนื่องจาก $-2i$ อยู่บนแกน $y$ ใต้แกน $x$ บนระนาบเชิงซ้อน ดังนั้นจะได้ว่า $\theta = 270^{\circ}$

ดังนั้น $-2i = 2\left(\cos 270^{\circ} +i \sin270^{\circ}\right)$

เมื่อถอดรากที่สอง จะมีรากที่สองทั้งหมด $2$ ตัว คือ

\begin{eqnarray*}
z_{1} & = & \sqrt{2}\left(\cos\frac{270^{\circ}}{2}+i\sin\frac{270^{\circ}}{2}\right)\\
 & = & \sqrt{2}\left(\cos135^{\circ}+i\sin135^{\circ}\right)\\
 & = & \sqrt{2}\left(\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+i\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)\\
 & = & \sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+i\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\
 & = & -\left(\frac{\sqrt{2}^{2}}{2}\right)+i\left(\frac{\sqrt{2}^{2}}{2}\right)\\
 & = & -\left(\frac{2}{2}\right)+i\left(\frac{2}{2}\right)\\
 & = & -1+i
\end{eqnarray*}

กับ

\begin{eqnarray*}
z_{2} & = & \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{270^{\circ}}{2}+\frac{360^{\circ}}{2}\right)+i\sin\left(\frac{270^{\circ}}{2}+\frac{360^{\circ}}{2}\right)\right)\\
 & = & \sqrt{2}\left(\cos\left(135^{\circ}+180^{\circ}\right)+i\sin\left(135^{\circ}+180^{\circ}\right)\right)\\
 & = & \sqrt{2}\left(\cos315^{\circ}+i\sin315^{\circ}\right)\\
 & = & \sqrt{2}\left(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+i\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)\\
 & = & \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+i\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\
 & = & \left(\frac{2}{2}\right)+i\left(-\frac{2}{2}\right)\\
 & = & 1-i
\end{eqnarray*}

[STEP]หา $P(x)$ จากคำตอบของ $P(x)=0$[/STEP]

เนื่องจาก $P(x)$ เป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง ที่มีรากเป็นจำนวนเชิงซ้อน $z_1=-1+i$ และ $z_2=1-i$  จะได้ว่าคอนจูเกทของ $z_1$ และ $z_2$ ต้องเป็นคำตอบของ $P(x)=0$ ด้วยเช่นเดียวกัน  ดังนั้น $\bar{z_1}=-1-i$ และ $\bar{z_2}=1+i$ จึงเป็นคำตอบของ $P(x)=0$ ด้วย

เขียน $P(x)$ ในรูปผลคูณของตัวประกอบที่ได้จากคำตอบของ $P(x)=0$

\begin{eqnarray*}
P\left(x\right) & = & k\left(x-\left(-1+i\right)\right)\left(x-\left(-1-i\right)\right)\left(x-\left(1-i\right)\right)\left(x-\left(1+i\right)\right)\\
 & = & k\left[\left(x+1-i\right)\left(x+1+i\right)\right]\left[\left(x-1+i\right)\left(x-1-i\right)\right]\\
 & = & k\left[x^{2}+2x+2\right]\left[x^{2}-2x+2\right]
\end{eqnarray*}

และเนื่องจากโจทย์กำหนดว่า $P(x)$ มีสัมประสิทธิ์ของ $x^4$ เท่ากับ $1$ ดังนั้น $k=1$ จึงได้ว่า

$$P(x)=\left(x^2+2x+2\right)\left(x^2-2x+2\right)$$

[STEP]คำนวณ $P(1)$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
P\left(1\right) & = & \left(\left(1\right)^{2}+2\left(1\right)+2\right)\left(\left(1\right)^{2}-2\left(1\right)+2\right)\\
 & = & \left(1+2+2\right)\left(1-2+2\right)\\
 & = & \left(5\right)\left(1\right)\\
 & = & 5
\end{eqnarray*}

[ANS]$P(1)=5$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : รากจำนวนเชิงซ้อนของสมการพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง