จำนวนสมาชิกของเซต

$$S=\left\{x\mid x\text{ เป็นจำนวนเต็มที่สอดคล้องกับอสมการ }\log \left[x(x-21)\right]\leq 2\right\}$$

เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]หาคำตอบของอสมการ[/STEP]

เปลี่ยนเลข $2$ เป็นล็อคฐาน $10$ แล้วปลด $\log$

\begin{eqnarray*}
\log\left[x\left(x-21\right)\right] & \leq & 2\\
\log\left[x\left(x-21\right)\right] & \leq & 2\log10\\
\log\left[x\left(x-21\right)\right] & \leq & \log10^{2}\\
\log\left[x\left(x-21\right)\right] & \leq & \log100\\
\left[x\left(x-21\right)\right] & \leq & 100
\end{eqnarray*}

เหตุที่ปลด $\log$ แล้วไม่กลับเครื่องหมายเพราะว่าการปลด $\log$ ฐานสิบเป็นฟังก์ชันเพิ่ม เมื่อปลดแล้วใช้เครื่องหมายเดิม

ย้าย $100$ ไปด้านซ้ายของอสมการแล้วแยกตัวประกอบพหุนามกำลังสองเป็นสองวงเล็บ

\begin{eqnarray*}
x\left(x-21\right) & \leq & 100\\
x\left(x-21\right)-100 & \leq & 0\\
x^{2}-21x-100 & \leq & 0\\
\left(x-25\right)\left(x+4\right) & \leq & 0
\end{eqnarray*}

ได้จุดแบ่งบนเส้นจำนวนสองจุด คือ $x=-4$ และ $x=25$ จากนั้นวาดลงบนเส้นจำนวน

เขียนเครื่องหมายบวกลบสลับกันเริ่มจากช่องขวาสุดมาทางซ้าย

เนื่องจากอสมการเป็นเครื่องหมายน้อยกว่า จึงเขียนเส้นคำตอบในช่วงที่มีเครื่องหมายลบ

ซึ่งจะได้เซตคำตอบเป็น $[-4,25]$

[STEP]คำนวณโดเมนของ $\log\left[x(x-21)\right]$ แล้วนำมาอินเตอร์เซคกับคำตอบจากอสมการ[/STEP]

เนื่องจากหลัง $\log$ ต้องมีค่าเป็นบวก ดังนั้น

$$x\left(x-21\right) > 0$$

นำจุด $x=0$ และ $x=21$ ไปเขียนบนเส้นจำนวนและเขียนเครื่องหมายบวกลบสลับกันจากขวามาซ้ายได้ดังรูป

เนื่องจากอสมการนี้เป็นอสมการเครื่องหมายมากกว่า จึงจะต้องเขียนเส้นคำตอบในช่วงเครื่องหมายบวก

นำมาอินเตอร์เซคกับคำตอบในขั้นตอนก่อนหน้า

ซึ่งผลที่ได้ คือ เซต $S=[-4,0)\cup (21,25]$

[STEP]นับจำนวนเต็มที่อยู่ในเซต $S$[/STEP]

เขียนเส้นจำนวนและเซต $S$ พร้อมทั้งจำนวนนับทั้งหมดขึ้นมาอีกครั้ง

ซึ่งจะเห็นว่ามีจำนวนเต็มดังนี้

$$-4,-3,-2,-1,22,23,24,25$$

ซึ่งมีทั้งหมด $8$ ตัว

[ANS]จำนวนสมาชิกของ $S$ มี $8$ ตัว[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การแก้อสมการลอการิทึม