ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชัน $f(x)=2x^3+3x^2-12x+1$ บนช่วง $[-1,2]$ มีค่าเท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]หาอนุพันธ์ $f'(x)$ และหาค่าวิกฤติ[/STEP]

\begin{eqnarray*}
f'\left(x\right) & = & 3\left(2x^{3-1}\right)+2\left(3x^{2-1}\right)-12+0\\
 & = & 3\left(2x^{2}\right)+2\left(3x\right)-12\\
 & = & 6x^{2}+6x-12
\end{eqnarray*}

หาค่าวิกฤติโดยแก้สมการ $f'(x)=0$

\begin{eqnarray*}
f'\left(x\right) & = & 0\\
6x^{2}+6x-12 & = & 0\\
6\left(x^{2}+x-2\right) & = & 0
\end{eqnarray*}

หารด้วย $6$ ทั้งสองข้างของสมการ แล้วแยกตัวประกอบเป็น $2$ วงเล็บ

\begin{eqnarray*}
\frac{6\left(x^{2}+x-2\right)}{6} & = & \frac{0}{6}\\
\frac{\cancel{6}\left(x^{2}+x-2\right)}{\cancel{6}} & = & 0\\
x^{2}+x-2 & = & 0\\
\left(x+2\right)\left(x-1\right) & = & 0
\end{eqnarray*}

ดังนั้นมีค่าวิกฤติสองค่า คือ $x=-2$ และ $x=1$

[STEP]คำนวณค่าฟังก์ชันจากค่าวิกฤตและจากค่าขอบของ $[-1,2]$[/STEP]

เนื่องจากค่าวิกฤติ $x=-2$ และ $x=1$ ไม่ได้อยู่ในช่วง $[-1,2]$ ทั้งหมด เราจึงต้องตัดค่าวิกฤติที่ไม่ได้อยู่ในช่วง $[-1,2]$ ออกจากการพิจารณา  นั่นก็คือ ต้องตัด $x=-2$ ออก เหลือเพียง $x=1$

นำค่าวิกฤติที่อยู่ในช่วง $[-1,2]$ คือ $x=1$ มารวมกับขอบซ้ายขวาของช่วง $[-1,2]$ ซึ่งก็คือ $x=-1$ และ $x=2$ มาคำนวณค่าฟังก์ชันเพื่อมาเปรียบเทียบกันแล้วหาค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชัน $f(x)$ บนช่วง $[-1,2]$

\begin{eqnarray*}
f\left(1\right) & = & 2\left(1\right)^{3}+3\left(1\right)^{2}-12\left(1\right)+1\\
 & = & 2\left(1\right)+3\left(1\right)-12+1\\
 & = & 2+3-12+1\\
 & = & -6
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
f\left(-1\right) & = & 2\left(-1\right)^{3}+3\left(-1\right)^{2}-12\left(-1\right)+1\\
 & = & 2\left(-1\right)+3\left(1\right)-\left(-12\right)+1\\
 & = & -2+3+12+1\\
 & = & 14
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
f\left(2\right) & = & 2\left(2\right)^{3}+3\left(2\right)^{2}-12\left(2\right)+1\\
 & = & 2\left(8\right)+3\left(4\right)-\left(24\right)+1\\
 & = & 16+12-24+1\\
 & = & 5
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะเห็นว่า $f(-1)=14$ มีค่าสูงที่สุดในบรรดา $f(1)=5$, $f(-1)=14$ และ $f(2)=5$

[ANS]ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของ $f(x)$ บนช่วง $[-1,2]$ คือ $14$[/ANS]

 

 

ความรู้ที่ใช้ : ค่าสูงสุดต่ำสุด